Nos exercícios 11 a 18 verifique se é possível encontrar um fator de integração do tipo λ = λ ( x ) ou λ = λ ( y ) que transforma a EDO dada em uma EDO exata. Em caso afirmativo, determine o fator de integração e resolva a EDO.

11 .   y x 3 d x - x 4 + y 4 d y = 0

Passo 1

Ele já nos fala que a ideia é resolver uma EDO exata, e a nossa EDO já aparece na forma de uma EDO exata. Ele também diz que a EDO não é exata, mas mesmo assim vamos conferir para treinar:

y x 3 d x - x 4 + y 4 d y = 0

y x 3 d x + - x 4 - y 4 d y = 0

M x , y = y x 3

N x , y = - x 4 - y 4

Derivando parcialmente:

∂ M ∂ y = x 3

∂ N ∂ x = - 4 x 3

∂ M ∂ y ≠ ∂ N ∂ x

Bom, como esperado, ela é não exata.

Passo 2

Vamos encontrar o fator integrante. Como M x , y é uma função mais simples que N ( x , y ) vamos tentar encontrar um fator integrante em função de y .

h y = ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y M = - 4 x 3 - x 3 y x 3 = - 5 y

Sendo assim o fator integrante será.

λ y = e ∫ - 5 y d y = e - 5 l n y = y - 5

Passo 3

Vamos multiplicar a nossa EDO pelo fator integrante.

y - 5 y x 3 d x + y - 5 - x 4 - y 4 d y = 0

y - 4 x 3 d x + - x 4 y - 5 - y - 1 d y = 0

Vamos conferir se a equação ficou exata.

∂ M ∂ y = - 4 y - 5 x 3

∂ N ∂ x = - 4 x 3 y - 5

A equação ficou exata mesmo então já podemos continuar a resolução como se fosse para uma EDO exata normal.

Passo 4

Integrando M ( x , y ) em relação a x

∫ M x , y d x = ∫ y - 4 x 3 d x = y - 4 x 4 4 + g ( y )

Passo 5

Derivando o que encontramos parcialmente com respeito a y :

∂ y - 4 x 4 4 + g y ∂ y = - y - 5 x 4 + g ' y

Passo 6

Agora vamos comparar esse resultado com N x , y :

- y - 5 x 4 + g ' y = - x 4 y - 5 - y - 1

g ' y = - 1 y

Integrando para descobrir g ( y ) :

g y = ∫ - 1 y d y

g y = - l n ⁡ | y |

Lembrando que nesse passo a gente não precisa considerar a constante de integração.

Passo 7

Lembre-se de que nesse método, a gente considera como solução a função u x , y = C e a nossa EDO seria o resultado de uma derivação implícita. Então nossa u ( x , y ) será:

y - 4 x 4 4 + g y → y - 4 x 4 4 - l n ⁡ | y |

Como temos que u x , y = D :

y - 4 x 4 4 - l n ⁡ | y | = D

Vamos apenas ajeitar os termos agora:

y - 4 x 4 - 4 ln ⁡ y = 4 D

x 4 - 4 y 4 ln ⁡ y = C y 4

E o fator integrante que usamos foi λ y = 1 y 5

Resposta

11 .   λ y = 1 y 5 ;   x 4 - 4 y 4 ln ⁡ y = C y 4

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