Nos exercícios 11 a 18 verifique se é possível encontrar um fator de integração do tipo λ = λ ( x ) ou λ = λ ( y ) que transforma a EDO dada em uma EDO exata. Em caso afirmativo, determine o fator de integração e resolva a EDO.

13 .   3 x 2 y + 2 x y + y 3 d x + x 2 + y 2 d y = 0

Passo 1

Ele já nos fala que a ideia é resolver uma EDO exata, e a nossa EDO já aparece na forma de uma EDO exata. Ele também diz que a EDO não é exata, mas mesmo assim vamos conferir para treinar:

3 x 2 y + 2 x y + y 3 d x + x 2 + y 2 d y = 0

M x , y = 3 x 2 y + 2 x y + y 3

N x , y = x 2 + y 2

Derivando parcialmente:

∂ M ∂ y = 3 x 2 + 2 x + 3 y 2

∂ N ∂ x = 2 x

∂ M ∂ y ≠ ∂ N ∂ x

Bom, como esperado, ela é não exata.

Passo 2

Vamos encontrar o fator integrante. Vamos tentar encontrar um fator integrante em função de x .

h x = ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x N = 3 x 2 + 2 x + 3 y 2 - 2 x x 2 + y 2 = 3

Sendo assim o fator integrante será.

λ x = e ∫ 3 d x = e 3 x

Passo 3

Vamos multiplicar a nossa EDO pelo fator integrante.

e 3 x 3 x 2 y + 2 x y + y 3 d x + e 3 x x 2 + y 2 d y = 0

Vamos conferir se a equação ficou exata.

∂ M ∂ y = e 3 x 3 x 2 + 2 x + 3 y 2

∂ N ∂ x = 2 x e 3 x + 3 e 3 x x 2 + y 2 = e 3 x 3 x 2 + 2 x + 3 y 2

A equação ficou exata mesmo então já podemos continuar a resolução como se fosse para uma EDO exata normal.

Passo 4

Integrando N ( x , y ) em relação a y

∫ N x , y d y = ∫ e 3 x x 2 + y 2 d y = e 3 x x 2 y + y 3 3 + g ( x )

Passo 5

Derivando o que encontramos parcialmente com respeito a x :

∂ e 3 x x 2 y + y 3 3 + g ( x ) ∂ x = e 3 x 2 x y + 3 e 3 x x 2 y + y 3 3 + g ' x

Passo 6

Agora vamos comparar esse resultado com M x , y :

e 3 x 2 x y + 3 e 3 x x 2 y + y 3 3 + g ' x = e 3 x 3 x 2 y + 2 x y + y 3

g ' x = 0

Integrando para descobrir g ( x ) :

g x = 0

Lembrando que nesse passo a gente não precisa considerar a constante de integração.

Passo 7

Lembre-se de que nesse método, a gente considera como solução a função u x , y = C e a nossa EDO seria o resultado de uma derivação implícita. Então nossa u ( x , y ) será:

e 3 x x 2 y + y 3 3 + g x → e 3 x x 2 y + y 3 3

Como temos que u x , y = D :

e 3 x x 2 y + y 3 3 = D

Vamos apenas ajeitar os termos agora:

e 3 x 3 x 2 y + y 3 = 3 D

e 3 x 3 x 2 y + y 3 = C

E o fator integrante que usamos foi λ x = e 3 x

Resposta

13 .   λ x = e 3 x ;   e 3 x 3 x 2 y + y 3 = C

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