Nos exercícios 11 a 18 verifique se é possível encontrar um fator de integração do tipo λ = λ ( x ) ou λ = λ ( y ) que transforma a EDO dada em uma EDO exata. Em caso afirmativo, determine o fator de integração e resolva a EDO.

1 5 .   x 2 + y 2 + 2 x d x + x 2 + y 2 + 2 y d y = 0

Passo 1

Ele já nos fala que a ideia é resolver uma EDO exata, e a nossa EDO já aparece na forma de uma EDO exata. Ele também diz que a EDO não é exata, mas mesmo assim vamos conferir para treinar:

  x 2 + y 2 + 2 x d x + x 2 + y 2 + 2 y d y = 0

M x , y = x 2 + y 2 + 2 x

N x , y = x 2 + y 2 + 2 y

Derivando parcialmente:

∂ M ∂ y = 2 y

∂ N ∂ x = 2 x

∂ M ∂ y ≠ ∂ N ∂ x

Bom, como esperado, ela é não exata.

Passo 2

Vamos encontrar o fator integrante. Vamos tentar encontrar um fator integrante em função de x .

h x = ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x N = 2 y - 2 x x 2 + y 2 + 2 y

Bom, você pode tentar simplificar isso atééé o infinito, que você não vai conseguir deixar apenas em função de x . Já que não deu certo, vamos tentar encontrar em função de y :

h y = ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y M = 2 x - 2 y x 2 + y 2 + 2 x

Putzzzzz a gente chega na mesma coisa praticamente, não conseguimos simplificar, então não é possível encontrarmos um fator integrante para tornarmos nossa EDO numa EDO exata.

Resposta

1 5 . Não é possível.

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