Nos exercícios 11 a 18 verifique se é possível encontrar um fator de integração do tipo λ = λ ( x ) ou λ = λ ( y ) que transforma a EDO dada em uma EDO exata. Em caso afirmativo, determine o fator de integração e resolva a EDO.

1 6 .   d x + x y - s e n y d y = 0

Passo 1

Ele já nos fala que a ideia é resolver uma EDO exata, e a nossa EDO já aparece na forma de uma EDO exata. Ele também diz que a EDO não é exata, mas mesmo assim vamos conferir para treinar:

d x + x y - s e n y d y = 0

M x , y = 1

N x , y = x y - s e n y

Derivando parcialmente:

∂ M ∂ y = 0

∂ N ∂ x = 1 y

∂ M ∂ y ≠ ∂ N ∂ x

Bom, como esperado, ela é não exata.

Passo 2

Vamos encontrar o fator integrante. Vamos tentar encontrar um fator integrante em função de y .

h y = ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y M = 1 y - 0 1 = 1 y

Sendo assim o fator integrante será.

λ y = e ∫ 1 y d y = e l n y = y

Passo 3

Vamos multiplicar a nossa EDO pelo fator integrante.

y d x + y x y - s e n y d y = 0

y d x + ( x - y s e n y ) d y = 0

Vamos conferir se a equação ficou exata.

∂ M ∂ y = 1

∂ N ∂ x = 1

A equação ficou exata mesmo então já podemos continuar a resolução como se fosse para uma EDO exata normal.

Passo 4

Integrando M ( x , y ) em relação a x

∫ M x , y d x = ∫ y d x = x y + g ( y )

Passo 5

Derivando o que encontramos parcialmente com respeito a y :

∂ x y + g ( y ) ∂ y = x + g ' y

Passo 6

Agora vamos comparar esse resultado com N x , y :

x + g ' y = x - y s e n y

g ' y = - y s e n y

Integrando para descobrir g ( y ) :

g y = ∫ - y s e n y d y

Bom, para resolver essa integral, vamos ter que usar a integração por partes. Você lembra da fórmula?

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Chamando u = y → d u = d y ; d v = - s e n y d y → v = c o s y

∫ - y s e n y d y = y c o s y - ∫ c o s y d y = y c o s y - s e n y

Lembrando que nesse passo a gente não precisa considerar a constante de integração.

Passo 7

Lembre-se de que nesse método, a gente considera como solução a função u x , y = C e a nossa EDO seria o resultado de uma derivação implícita. Então nossa u ( x , y ) será:

x y + g ( y ) → x y + y c o s y - s e n y

Como temos que u x , y = C :

x y + y c o s y - s e n y = C

Resposta

1 6 .   λ y = y ;   x y + y c o s y - s e n y = C

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