Resolva as seguintes equações diferenciais, e problemas de valor inicial.

3 s e n y + 5 y e 5 x + 2 y e 5 x x d x + x cos ⁡ y + e 5 x d y = 0

Passo 1

A primeira coisa que a gente tem que fazer é verificar o tipo de EDO que nós temos para resolvê-la:

3 s e n y + 5 y e 5 x + 2 y e 5 x x d x + x cos ⁡ y + e 5 x d y = 0

Ela tem dx e dy separados, no formato M ( x , y ) d x + N ( x , y ) d y = 0 , ta com cara de uma equação exata. Vamos verificar o critério pra saber se é exata ou não, Condição de Euler, que diz:

∂ M ( x , y ) ∂ y = ∂ N ( x , y ) ∂ x

Vamos checar a condição na nossa equação:

M x , y = 3 s e n y + 5 y e 5 x + 2 y e 5 x x

N x , y = x cos ⁡ y + e 5 x

∂ M x , y ∂ y = 3 c o s y + 5 e 5 x + 2 e 5 x x

∂ N x , y ∂ x =   c o s ⁡ ( y ) + 5 e 5 x

Essa EDO não é exata porque:

∂ M x , y ∂ y ≠ ∂ N x , y ∂ x

Passo 2

Vamos usar o fator integrante pra dar um empurrãozinho e tornar essa EDO Exata, o primeiro candidato é:

∂ M x , y ∂ y - ∂ N x , y ∂ x N

cos ⁡ y + 5 e 5 x -   3 c o s y + 5 e 5 x + 2 e 5 x x x cos ⁡ y + e 5 x N = 2 x

Como a função só depende de x, vamos fazer:

h x = 2 x

E o fator integarnte vai ser:

u x = ∫ h x d x

u x = x 2

Multiplicando o fator integrante na equação:

M x , y = 3 x 2 s e n y + 5 x 2 y e 5 x + 2 y x e 5 x

N x , y = x ³ cos ⁡ y + x ² e 5 x

∂ M x , y ∂ y = 3 x ² c o s y + 5 x ² e 5 x + 2 x e 5 x

∂ N x , y ∂ x = 3 x 2 cos ⁡ y + 5 x 2 e 5 x + 2 x e 5 x

Agora nossa EDO é Exata!

Passo 3

Resolver a EDO exata. A solução é dada implicitamente por:

u x , y = C

Como a gente vai achar esse u x , y ? Vamos integrar N x , y com relação a y :

∫ N x , y d y = ∫ x ³ cos ⁡ y + x ² e 5 x d y

Vamos considerar x sendo uma constante.

∫ N x , y d y = ∫ x ³ cos ⁡ y d y + ∫ x ² e 5 x d y

∫ N x , y d y = x ³ ∫ cos ⁡ y d y + x ² e 5 x ∫ d y

∫ N x , y d y = x 3 s e n y + y x ² e 5 x + g ( x )

f x , y = x 3 s e n y + y x ² e 5 x + g ( x )

Agora vamos derivar essa equação com relação a x :

∂ N x , y ∂ x = 3 x 2 s e n y + 2 x y e 5 x + 5 y x ² e 5 x + g ' ( x )

Passo 4

Comparar o ∂ N x , y ∂ x obtido com o original:

3 x 2 s e n y + 2 x y e 5 x + 5 y x 2 e 5 x + g ' x = 3 x 2 cos ⁡ y + 5 x 2 e 5 x + 2 x e 5 x

Simplificando, encontramos:

g ' x = 0

g x = 0

Logo, a partir da solução original, temos:

C = x 3 s e n y + y x 2 e 5 x

f ( x , y ) = x 3 s e n y + y x 2 e 5 x

Resposta

f ( x , y ) = x 3 s e n y + y x 2 e 5 x é solução da equação diferencial.

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