Exercícios Resolvidos de Equação Não Exata - Fator Integrante

CEFET, EDO, P1 2011, Professor Roberto de Sá, Questão 1 item c

Use o fator integrante μ ( x ) = x y para resolver:

1 x - sen x y d x + 1 y d y = 0

Passo 1

Galerinha, cuidado com essa questão! Ela é bacana porque ele já disse o fator integrante, assim nos dá menos trabalho, mas se liga, a gente usa fator integrante tanto pra EDO exata, quanto pra EDO linear de primeira ordem. A questão é, pra usar esse fator integrante, devemos resolver isso como uma edo exata/quase exata ou edo linear de primeira ordem? Esse é o tchã da questão!

Tem como arrumar essa edo e deixar ela com carão de EDO linear de primeira ordem sim! Mas po, ele já está com cara de edo exata, então vamos testar primeiro para ver se esse fator integrante pode ser usado para resolver edo exata/quase exata.

Então vamos lá, vamos por questão de costume, ver se essa EDO é exata:

M x , y = 1 x - sen x y N x , y = 1 y

Fazendo o teste:

M y = sen x y 2

N x = 0

Vemos que M y N x , logo ela não é uma EDO exata, vamos ver se esse fator integrante ajuda?!

Multiplicando essa EDO por x y :

x y 1 x - sen x y d x + x y 1 y d y = 0

Assim fica:

y - x sen ( x ) d x + x d y = 0

Vamos fazer o teste para ver se ficou exata!

M x , y = y - x sen ( x ) N x , y = x

Agora vamos lá:

M y = 1

N x = 1

Ae! Funcionou, então ok, esse é o fator integrante para transformar essa edo quase exata em exata! Se isso não funcionasse, você deveria deixar a cara da EDO com carão de EDO linear de primeira ordem, e testar esse fator integrante para resolver ela, sacou?!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então agora temos que resolver uma EDO exata! Simbora!

y - x sen ( x ) d x + x d y = 0

M x , y = y - x sen ( x ) N x , y = x

Então vamos lá:

M x , y d x = ( y - x sen ( x ) ) d x = y d x - x sen ( x ) d x

A primeira integral:

y d x = y x

A segunda integral, faremos uma integração por partes:

x sen ( x ) d x

u = x d u = d x d v = sen ( x ) d x v = - cos ( x )

Assim:

x sen ( x ) d x = u v - v d u = - x cos x + cos x d x = - x cos x + sen ( x )

Assim:

M x , y d x = y d x - x sen x d x = y x + x cos x - sen x + g y

Onde esse g y apareceu pois consideramos y constante.

Passo 3

Derivamos o que acabamos de achar com relação a y :

y y x + x cos x - sen x + g y = x + g ' y

Passo 4

Compare o obtido no Passo 3 com N x , y :

x + g ' y = x

g ' y = 0

Passo 5

Ache g y integrando g ' y :

g y = 0 d y = 0

Obs.: Lembre-se que não precisamos acrescentar a constante nesse passo.

Passo 6

Obtenha a função u x , y = M x , y d x

u x , y = y x + x cos x - sen x + g y 0

u x , y = y x + x cos x - sen x

Passo 7

A solução é dada por u x , y = C :

y x + x cos x - sen x = C

Resposta

y x + x cos x - sen x = C

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