Calcule, caso existam, os limites abaixo:

k)

lim x → + ∞ ⁡ x 2 1 + sin 2 ⁡ x x + sin ⁡ x 2

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede resolvermos o seguinte limite:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 1 + sin 2 ⁡ x x + sin ⁡ x 2

Se analisarmos bem, podemos dividir o limite da seguinte forma:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 1 + sin 2 ⁡ x x + sin ⁡ x 2 ∴

= lim x → + ∞ ⁡ x 2 x + sin ⁡ x 2 + lim x → + ∞ ⁡ 1 + sin 2 ⁡ x x + sin ⁡ x 2

Assim, podemos fazer um limite de cada vez😉

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Dessa forma, para o primeiro limite, temos:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 x + sin ⁡ x 2 ∴

= lim x → + ∞ ⁡ x x + sin ⁡ x 2 ∴

Multiplicando por 1 / x , temos:

= lim x ��� + ∞ ⁡ 1 1 + sin ⁡ x x 2 ∴

= 1

Passo 3

Para o segundo limite, podemos aplicar o Teorema do Confronto:

lim x → + ∞ ⁡ 1 x + sin ⁡ x 2 ≤ lim x → + ∞ ⁡ 1 + sin 2 ⁡ x x + sin ⁡ x 2 ≤ lim x → + ∞ ⁡ 3 x + sin ⁡ x 2 ∴

= 0 ≤ lim x → + ∞ ⁡ 1 + sin 2 ⁡ x x + sin ⁡ x 2 ≤ 0 ∴

= 0

Assim, substituindo no Passo 1, temos:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 1 + sin 2 ⁡ x x + sin ⁡ x 2 = lim x → + ∞ ⁡ x 2 x + sin ⁡ x 2 + lim x → + ∞ ⁡ 1 + sin 2 ⁡ x x + sin ⁡ x 2 ∴

lim x → + ∞ ⁡ x 2 1 + sin 2 ⁡ x x + sin ⁡ x 2 = 1 * 0 ∴

lim x → + ∞ ⁡ x 2 1 + sin 2 ⁡ x x + sin ⁡ x 2 = 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x 2 1 + sin 2 ⁡ x x + sin ⁡ x 2 = 0

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Calcule o limite, se existir.underset(t - 0)(lim) (1)/(t sqrt(1 + t)) - (1)/(t)
Encontre o limite ou demonstre que não existe.underset(x - oo)(lim) sqrt(x^2 + a x) - sqrt(x^2 + b x)
Estime o valor de lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 + x usando uma tabela de valores para f ( x ) para conjecturar o valor do limite. Demonstre que sua conjectura está correta.
Encontre o limite ou demonstre que o mesmo não existe. lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x
Calcule.underset(x - 2^+)(lim) (x^2 - 4)/(x^2 - 4 x + 4)