Calcule os limites abaixo, se existirem, usando a generalização de limites infinitos

d )   lim x → 2 ⁡ 3 x 3 - 14 x 2 + 20 x - 8 x 4 - 8 x 2 + 16

Passo 1

E ai galera, tudo bem?

Se substituirmos x = 2 em cima e embaixo vamos ter algo do tipo 0 / 0 . Então isso é um indicativo que precisamos manipular essa função pra poder calcular esse limite.

Vamos fatorar esses dois polinômios (o do numerador e o do denominador). Começando pelo do numerador:

3 x 3 - 14 x 2 + 20 x - 8 = 0

Como 2 é uma das raízes, fazendo a divisão por x - 2 temos:

3 x 2 - 8 x + 4

E procurando mais duas raízes temos:

x = 2 / 3   e   2

E a forma fatorada é:

3 x 3 - 14 x 2 + 20 x - 8 = 3 x - 2 x - 2 2

Agora o polinômio do denominador:

x 4 - 8 x 2 + 16 = 0

Essa equação é do tipo a 2 - b 2 com a = x e b = 2 , daí a forma fatorada fica assim:

x 4 - 8 x 2 + 16 = x + 2 2 x - 2 2

Beleza?

Passo 2

Substituindo as formas fatoradas no limite:

lim x → 2 ⁡ 3 x 3 - 14 x 2 + 20 x - 8 x 4 - 8 x 2 + 16 = lim x → 2 ⁡ 3 x - 2 x - 2 2 x + 2 2 x - 2 2

Podemos cancelar o termo x - 2 2 e ficamos com:

lim x → 2 ⁡ 3 x - 2 x + 2 2

Como levantamos a indeterminação, fica tranquilo calcular o limite!

Passo 3

Agora é só substituir x = 2 no limite:

lim x → 2 ⁡ 3 x - 2 x + 2 2

= ( 3.2 - 2 ) 2 + 2 2 = 4 4 2 = 1 4  

Pronto! Conseguimos calcular esse limite!

Espero ter ajudado!

Resposta

1 4

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Calcule o limite, se existir.underset(t - 0)(lim) (1)/(t sqrt(1 + t)) - (1)/(t)
Encontre o limite ou demonstre que não existe.underset(x - oo)(lim) sqrt(x^2 + a x) - sqrt(x^2 + b x)
Estime o valor de lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 + x usando uma tabela de valores para f ( x ) para conjecturar o valor do limite. Demonstre que sua conjectura está correta.
Encontre o limite ou demonstre que o mesmo não existe. lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x
Calcule.underset(x - 2^+)(lim) (x^2 - 4)/(x^2 - 4 x + 4)