Determine a e b sabendo que.

lim x → - 4 ⁡ ( x + 4 ) ( a - x ² ) x 2 + 8 x + 16 = b

Passo 1

E aí galerinha 😊, joia? Vamos resolver um limite tranquilo, realizando manipulações matemáticas simples quando necessário para evitarmos indeterminações.

lim x → - 4 ⁡ ( x + 4 ) ( a - x ² ) x 2 + 8 x + 16 = b

Olha só essa idéia: como - 4 é raiz do nosso denominador, podemos confirmar que ele possui divisão inteira com:

( x - ( - 4 ) ) = ( x + 4 )

Visto o teorema do fator.

Passo 2

E o mais legal, percebemos que esse denominador é o quadrado da soma x + 4 , então fica lindo demais:

lim x → - 4 ⁡ x + 4 a - x 2 x 2 + 8 x + 16

lim x → - 4 ⁡ ( x + 4 ) ( a - x ² ) ( x + 4 ) ²

Portanto:

lim x → - 4 ⁡ a - x ² x + 4

Ok, pode parecer que a gente chegou numa sinuca de bico, visto que nosso limite ainda apresenta indeterminação (divisão por zero) se apenas aplicarmos - 4 . Mas galera, sabemos que esse limite existe e é igual a b, portanto vamos fazer um leve desenvolvimento e supor um valor para nossa variável a de forma que não teremos mais indeterminação. No próximo passo eu mostro pra vocês como resolve isso!

Passo 3

Pelo formato do quadrado da soma pela diferença, podemos desenvolver:

lim x → - 4 ⁡ a - x 2 x + 4

lim x → - 4 ⁡ ( a - x ) ( a + x ) x + 4

É aqui que temos que ser malandros, seria um sonho se nosso a   fosse 4, né? Assim não teríamos indeterminação. Pois então façamos a = 16 que teremos esse resultado:

lim x → - 4 ⁡ ( 16 - x ) ( 16 + x ) x + 4 = lim x → - 4 ⁡ ( 4 - x ) ( 4 + x ) x + 4

lim x → - 4 ⁡ 4 - x = 4 - - 4 = 8

E lembremos lá do início, onde dissemos que nosso limite era b ? Pois então:

lim x → - 4 ⁡ ( x + 4 ) ( a - x ² ) x 2 + 8 x + 16 = b = 8

Então temos a = 16 e b = 8

E é isso o/

Resposta

a = 16 e b = 8

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Calcule o limite, se existir.underset(t - 0)(lim) (1)/(t sqrt(1 + t)) - (1)/(t)
Encontre o limite ou demonstre que não existe.underset(x - oo)(lim) sqrt(x^2 + a x) - sqrt(x^2 + b x)
Estime o valor de lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 + x usando uma tabela de valores para f ( x ) para conjecturar o valor do limite. Demonstre que sua conjectura está correta.
Encontre o limite ou demonstre que o mesmo não existe. lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x
Calcule.underset(x - 2^+)(lim) (x^2 - 4)/(x^2 - 4 x + 4)