Calcule os limites abaixo, se existirem, usando a generalização de limites infinitos

g )   lim x → 2 ⁡ 2 x - x 2 x 3 - 6 x 2 + 12 x - 8

Passo 1

E ai galera, tudo bem?

Se substituirmos x = 2 em cima e embaixo vamos ter algo do tipo 0 / 0 . Então isso é um indicativo que precisamos manipular essa função pra poder calcular esse limite.

Vamos fatorar esses dois polinômios (o do numerador e o do denominador). Começando pelo do numerador:

2 x - x 2 = x 2 - x = - x ( x - 2 )

Agora o polinômio do denominador:

x 3 - 6 x 2 + 12 x - 8 = 0

Como x = 2 é raiz, dividindo esse polinômio por x - 2 temos:

x 2 - 4 x + 4

E daí aplicando a fórmula de bhaskara pra achar as outras duas raízes temos:

x - 2 2

Assim temos que o polinômio do denominador na forma fatorada é:

x - 2 x - 2 2

E a função a ser calculada o limite é:

2 x - x 2 x 3 - 6 x 2 + 12 x - 8 = - x x - 2 x - 2 x - 2 2 = - x x - 2 2

E nosso limite fica:

lim x → 2 ⁡ 2 x - x 2 x 3 - 6 x 2 + 12 x - 8 = lim x → 2 ⁡ - x x - 2 2

Assim, pois mais pequeno que o denominador seja, ele sempre vai ser positivo, pois está elevado ao quadrado.

E aí quem vai mandar é o sinal do numerador, combinado com x, claro.

Beleza?

Passo 2

Substituindo agora x → 2 temos - 2 / 0 + , então fugimos da indeterminação!

Lembrando que dividindo qualquer número por um número beeeem pequenininho o resultado é um número grandão! E pra gente grandão é , nosso limite é:

lim x → 2 ⁡ 2 x - x 2 x 3 - 6 x 2 + 12 x - 8 = lim x → 2 ⁡ - x x - 2 2 = - 2 0 + = - ∞

Resposta

- ∞

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Calcule o limite, se existir.underset(t - 0)(lim) (1)/(t sqrt(1 + t)) - (1)/(t)
Encontre o limite ou demonstre que não existe.underset(x - oo)(lim) sqrt(x^2 + a x) - sqrt(x^2 + b x)
Estime o valor de lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 + x usando uma tabela de valores para f ( x ) para conjecturar o valor do limite. Demonstre que sua conjectura está correta.
Encontre o limite ou demonstre que o mesmo não existe. lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x
Calcule.underset(x - 2^+)(lim) (x^2 - 4)/(x^2 - 4 x + 4)