1. Nesse exercício, vamos revisitar alguns limites que já apareceram em listas anteriores. Como agora temos à disposição a noção de limites infinitos, podemos nos perguntar se limites que antes eram classificados como n ã o   e x i s t e n t e s agora podem ser classificados como - ∞ ou + ∞ . Classifique os limites abaixo agora usando a noção generalizada que inclui - ∞ ou + ∞ como resposta.
  1. lim x → 0 + ⁡ 3 x 3 - x 2 + 5 x + 1 x 2 x 2 + x - 2 ,   lim x → 0 - ⁡ 3 x 3 - x 2 + 5 x + 1 x 2 x 2 + x - 2   e   lim x → 0 ⁡ 3 x 3 - x 2 + 5 x + 1 x 2 x 2 + x - 2

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Nessa questão temos alguns limites para resolver. Repara que todos tendem a zero. Então vamos começar resolvendo de forma genérica (sem considerar os limites laterais) e ver o resultado.

Substituindo zero ficamos com

lim x → 0 ⁡ 3 x 3 - x 2 + 5 x + 1 x 2 x 2 + x - 2 = 1 0 = ± ∞

Repara que ao calcularmos encontramos 1 / 0 , ou seja, conforme nos aproximamos de zero, nosso limite tendo a números muito grandes. Agora resta saber se vai para números muitos grandes positivos ou negativos.

Então bora lá!

Passo 2

Começando por x tendendo a zero pela direita,

lim x → 0 + ⁡ 3 x 3 - x 2 + 5 x + 1 x 2 x 2 + x - 2 = 1 0 +

Repara que como estamos nos aproximando pela direita, x assumirá valores muito pequenos positivos. Por isso, indicamos 0 + .

Logo, como temos um número positivo dividido por outro positivo, o resultado será um número muito grande positivo. Ou seja,

lim x → 0 + ⁡ 3 x 3 - x 2 + 5 x + 1 x 2 x 2 + x - 2 = + ∞

Passo 3

Agora vamos para x tendendo a zero pela esquerda,

lim x → 0 - ⁡ 3 x 3 - x 2 + 5 x + 1 x 2 x 2 + x - 2 = 1 0 -

Repara que como estamos nos aproximando pela esqueda, x assumirá valores muito pequenos negativos. Por isso, indicamos 0 - .

Deste modo, quando dividimos um número positivo por outro negativo, teremos um número muito grande negativo. Ou seja,

lim x → 0 - ⁡ 3 x 3 - x 2 + 5 x + 1 x 2 x 2 + x - 2 = - ∞

Passo 4

Por fim, pra saber se o limite existe, temos que avaliar se os limites laterais são iguais. Como vimos nos passos anteriores que os limites laterais são diferentes,

lim x → 0 + ⁡ 3 x 3 - x 2 + 5 x + 1 x 2 x 2 + x - 2 ≠ lim x → 0 - ⁡ 3 x 3 - x 2 + 5 x + 1 x 2 x 2 + x - 2

Temos que esse limite realmente não existe

lim x → 0 ⁡ 3 x 3 - x 2 + 5 x + 1 x 2 x 2 + x - 2 = ∄

Resposta

+ ∞ ,   - ∞   e   ∄

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Calcule o limite, se existir.underset(t - 0)(lim) (1)/(t sqrt(1 + t)) - (1)/(t)
Encontre o limite ou demonstre que não existe.underset(x - oo)(lim) sqrt(x^2 + a x) - sqrt(x^2 + b x)
Estime o valor de lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 + x usando uma tabela de valores para f ( x ) para conjecturar o valor do limite. Demonstre que sua conjectura está correta.
Encontre o limite ou demonstre que o mesmo não existe. lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x
Calcule.underset(x - 2^+)(lim) (x^2 - 4)/(x^2 - 4 x + 4)