Exercícios Resolvidos de Indeterminação Infinito - Infinito

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Enunciado

Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

lim x → 4 ⁡ x 3 x - 4 - 16 x 0,25 x 2 - x

Passo 1

Vamos lá galera. Primeiro, vamos tentar substituir o valor do limite em cada uma das expressões:

lim x → 4 ⁡ x 3 x - 4 - 16 x 0,25 x 2 - x = 4 3 4 - 4 - 16.4 0,25 4 2 - 4 = 64 0 - 64 0 = ∞ - ∞

O que é uma indeterminação. Então, precisamos manipular esse expressão pra resolver isso.

Passo 2

Se você notar bem, o denominador da direita é igual ao denominador da esquerda, porém multiplicado por x e dividido por 4. Oras, basta a gente fazer o inverso então pra revelar a verdadeira identidade desse denominador. Primeiro, multiplicamos por 4 em cima e em baixo:

16 x 0,25 x 2 - x = 4 4 16 x 0,25 x 2 - x = 64 x x 2 - 4 x

E depois dividimos por x em cima e em baixo:

64 x x 2 - 4 x = 1 x 1 x 64 x x 2 - 4 x = 64 x - 4

E juntamos essa fração reescrita:

lim x → 4 ⁡ x 3 x - 4 - 64 x - 4 =   lim x → 4 ⁡ x 3 - 64 x - 4

Passo 3

Dá uma olhada no limite que a gente obteve: não é que tem tudo a ver com 4 ? Afinal:

4 3 = 64

Sendo assim, reescrevemos o limite para:

lim x → 4 ⁡ x 3 - 64 x - 4 = lim x → 4 ⁡ x 3 - 4 3 x - 4

E olha só! Uma diferença de cubos! Lembrando do produto notável:

a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Sendo a = x e b = 4 , mais uma vez a gente reescreve o limite e ficamos com:

lim x → 4 ⁡ x 3 - 4 3 x - 4 = lim x → 4 ⁡ x - 4 x 2 + 4 x + 16 x - 4

Epa, denominador e numerador com termos iguais? Só cortar!

lim x → 4 ⁡ x - 4 x 2 + 4 x + 16 x - 4 = lim x → 4 ⁡ x 2 + 4 x + 16

Sem indeterminação mais galera, só substituir agora:

lim x → 4 ⁡ x 2 + 4 x + 16 = 4 2 + 4.4 + 16 = 16 + 16 + 16 = 48

Resposta

lim x → 4 ⁡ x 3 x - 4 - 16 x 0,25 x 2 - x = 48

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