Explique o significado das expressões ”indeterminadas”abaixo e exemplifique esta situação:

(a) Produtos Indeterminados

(b) Diferenças Indeterminada

(c) Potências Indeterminadas

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente explicar o que são expressões indeterminadas. Bem, no contexto de limites, indeterminações são expressões nas quais não é possível, à priori, identificar qual será o comportamento da função quando a variável do domínio tende à algum valor. Por exemplo, no caso (a) de produtos indeterminados, se temos uma função g(x) que tende a zero quando x tende à um valor x 0 l i m x → x 0 g ( x )   = 0 e se temos uma outra função que, quando x tende à x 0 , explode para ± ∞ em princípio, não podemos determinar qual será o limite do produto f ( x ) g ( x ) porque por um lado, f(x) se reduz bastante, mas por outro g(x) cresce muito quando x tende à x 0 . Assim, cada caso deve ser analisado individualmente a fim de descobrirmos qual dessas funções tem prevalência sobre a outra. Um exemplo de produto indeterminado são as funções x e ln(x) quando x tende à zero. Por um lado, a função x tende à zero, mas por outro, ln(x) vai à menos infinito.

Passo 2

O próximo caso é o caso de diferenças indeterminadas. Assim como nos produtos, podemos ter indeterminações ao realizar a diferença entre duas funções. Se duas funções g(x) e h(x) vão à infinito quando x tende à um valor x 0 , a diferença entre g(x) e h(x) não está definida, pois não sabemos qual função irá “ganhar” nessa disputa, já que as duas crescem rapidamente nesse limite. Um exemplo de diferença indeterminada é a diferença entre as funções   g ( x ) = 1 l n ( x )   e h ( x ) = 1 x - 1 quando x tende à 1. Quando x tende à 1, a função ln(x) tende à zero, fazendo com que a função g(x) exploda, enquanto o denominador da função h(x) também tende à zero, fazendo com que a função h(x) também exploda.

Passo 3

O último exemplo é potências indeterminadas, quando não podemos determinar de cara o limite de uma potência g ( x ) h ( x ) quando x tende à um valor x 0 , pois podemos ter os seguintes casos:

1.g(x) tende a 0 e h(x) também tende a zero ⇒ 0 0

2.g(x) tende a e h(x) tende a zero ⇒ ∞ 0

3. g(x) tende a 1 e h(x) tende a infinito ⇒ 1 ∞

No caso 1, poderíamos pensar que qualquer número elevado à zero é igual à 1. Porém, a base é nula, então não faz sentido 0, não importa quantas vezes multiplicado por ele mesmo, dar 1, o que resulta na indeterminação. No caso 2, poderíamos pensar, novamente, que qualquer número elevado à 0 é igual à 1. Mas nesse caso, se trata de um infinito dividido por outro, afinal de contas, se lembre que, elevar um número a zero, é o mesmo que dividi-lo por ele mesmo. No caso 3, poderíamos pensar que 1 elevado a qualquer número é 1. No entanto, a função g(x) não é 1, mas tende a 1. Nesse caso, elevar um número que tende à 1 a um número muito grande, não é necessariamente 1.Exemplos dos casos 1, 2 e 3 são, respectivamente,

l i m x → 0 x x

l i m x → 0 1 x x

l i m x → ∞ 1 + 1 x x

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos Passos!

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o limite, se existir.underset(t - 0)(lim) (1)/(t sqrt(1 + t)) - (1)/(t)
Encontre o limite ou demonstre que não existe.underset(x - oo)(lim) sqrt(x^2 + a x) - sqrt(x^2 + b x)
Estime o valor de lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 + x usando uma tabela de valores para f ( x ) para conjecturar o valor do limite. Demonstre que sua conjectura está correta.
Encontre o limite ou demonstre que o mesmo não existe. lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x
Calcule.underset(x - 2^+)(lim) (x^2 - 4)/(x^2 - 4 x + 4)