Calcule os limites:

e) lim x → 0 ⁡ sin ⁡ ( 5 x ) 3 x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu um limite e pediu pra gente calcular ele. Em outras palavras, ele quer saber o que acontece com a função sin ⁡ ( 5 x ) 3 x quando x tende a 0 . Mas o quê que isso quer dizer?

Quer dizer que quanto mais x vai se aproximando de 0 , se esse limite existir, então a função vai se aproximando de um valor. E qual valor é esse?

É isso que nós vamos descobrir!

Passo 2

Vamos dar uma olhadinha no nosso limite:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ ( 5 x ) 3 x

Como é que a gente pode calcular o limite dessa função? Bom, se eu substituir o 0 no lugar do x , vai ficar assim:

sin ⁡ 5 ∙ 0 0 = sin ⁡ 0 0 = 0 0

Ou seja, temos uma indeterminação, que é uma expressão não sabemos exatamente como calcular. Beleza, então o que eu faço? Nós precisamos encontrar estratégias para fugir dessas indeterminações e transformar o nosso limite em algo simples de resolver.

Olhando para a nossa função, a gente percebe logo de cara que ela parece muito com um limite fundamental bem famoso, que é esse aqui:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ ( x ) x = 1

Existem maneiras de demonstrar que esse limite é 1 , uma delas é fazendo o x cada vez menor e ir substituindo os valores ali, tipo assim:

Percebe que quanto menor é o x , mais a função f x = sin ⁡ x x vai se aproximando de 1 ? Isso acontece também se a gente calcular para valores negativos. Então, nós podemos dizer que o limite dessa função é mesmo igual a 1 . Tá, mas como isso me ajuda?

Como nossa função já é parecida com esse limite fundamental, o que a gente pode fazer é tornar ela ainda mais parecida pra conseguir associar o nosso limite a um resultado conhecido. Mas como é que eu posso fazer isso?

Passo 3

Bom, pra tornar nossa função mais parecida com aquele limite, a gente pode começar dividindo nossa função por 5 x em cima e embaixo:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 5 x 5 x 3 x 5 x

Simplificando embaixo, nós temos:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 5 x 5 x 3 5

Como temos uma divisão de frações, podemos escrever:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 5 x 5 x ∙ 5 3

Lembra que quando a gente tem uma constante multiplicando no limite a gente passar ela pra o lado de fora do limite? Então, temos:

5 3 lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 5 x 5 x

Agora olha só, nosso argumento na função seno é igual ao denominador, como na função sin ⁡ x x .

E como lim x → 0 ⁡ sin ⁡ ( x ) x = 1 , então o lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 5 x 5 x também é igual a 1 , e temos:

5 3 lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 5 x 5 x = 5 3 ∙ 1

= 5 3

Encontramos nosso resultado. Valeu, galera! 😉

Resposta

5 3

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Calcule o limite, se existir. lim t → 0 ⁡ 1 t 1 + t - 1 t
Estime o valor de lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 + x usando uma tabela de valores para f ( x ) para conjecturar o valor do limite. Demonstre que sua conjectura está correta.
Encontre o limite ou demonstre que o mesmo não existe. lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x
Encontre o limite ou demonstre que não existe. lim x → ∞ ⁡ x 2 + a x - x 2 + b x
Calcule. lim x → 2 + ⁡ x 2 - 4 x 2 - 4 x + 4