4. Determine os seguintes limites

(d) lim x → - ∞ ⁡ 2 x 2 - 1 1 x - 4 ;

Sugestão: 2 x 2 - 1 1 x - 4 = e ln ⁡ 2 x 2 - 1 1 x - 4 = e 1 x - 4 ln ⁡ 2 x 2 - 1

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, nosso objetivo é obter os limites laterais da função 2 x 2 - 1 1 x - 4 para x tendendo a - ∞ .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

O limite de uma função é um conceito fundamental da matemática que descreve o comportamento da função à medida que a variável independente se aproxima de um determinado valor.

O limite lateral de uma função é um conceito que descreve o comportamento da função à medida que a variável independente se aproxima de um determinado valor a por um dos lados (esquerdo ou direito). Formalmente, o limite lateral à esquerda da função f x quando x se aproxima de a é denotado por:

lim x → a - ⁡ f x = L

Isso significa que, à medida que x se aproxima de a pela esquerda (ou seja, valores menores que a), a função f x se aproxima de um valor L . O limite lateral à direita da função f x quando x se aproxima de a é denotado por:

lim x → a + ⁡ f x = L

Isso significa que, à medida que x se aproxima de a pela direita (ou seja, valores maiores que a), a função f x se aproxima de um valor L .

Se ambos os limites laterais existirem e forem iguais, o limite geral da função em a existe. Se os limites laterais existirem, mas não forem iguais, o limite geral da função em a não existe.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

No enunciado, foi sugerido para aplicarmos uma propriedade de e e l n .

Podemos reescrever x como e ln ⁡ x , logo

2 x 2 - 1 1 x - 4 = e ln ⁡ 2 x 2 - 1 1 x - 4 = e 1 x - 4 ln ⁡ 2 x 2 - 1

Portanto

lim x → - ∞ ⁡ 2 x 2 - 1 1 x - 4 = lim x → - ∞ ⁡ e 1 x - 4 ln ⁡ 2 x 2 - 1

Como lim x → a ⁡ e f x = e lim x → a ⁡ f x , então

e lim x → - ∞ ⁡ 1 x - 4 ln ⁡ 2 x 2 - 1

Podemos separar em dois limites

lim x → - ∞ ⁡ 1 x - 4 ln ⁡ 2 x 2 - 1 = lim x → - ∞ ⁡ 1 x - 4 · lim x → - ∞ ⁡ ln ⁡ 2 x 2 - 1

Para o limite de 1 x - 4 temos

lim x → - ∞ ⁡ 1 x - 4 = 0

Já que temos um número pequeno sendo dividido por um número muito grande

Entendeu? 😎

Passo 3

Já para o limite de ln ⁡ 2 x 2 - 1 temos que pelo método de substituição...

lim x → - ∞ ⁡ ln ⁡ 2 x 2 - 1 = ln ⁡ 2 - ∞ 2 - 1

lim x → - ∞ ⁡ ln ⁡ 2 x 2 - 1 = ln ⁡ ∞

lim x → - ∞ ⁡ ln ⁡ 2 x 2 - 1 = ∞

Substituindo os resultados no limite, temos

lim x → - ∞ ⁡ 1 x - 4 ln ⁡ 2 x 2 - 1 = 0 · ∞

O termo 0 · ∞ é o mesmo que

lim x → ∞ ⁡ 0 · x = 0

Portanto...

lim x → - ∞ ⁡ 1 x - 4 ln ⁡ 2 x 2 - 1 = 0

Agora substituindo no problema...

lim x → - ∞ ⁡ 2 x 2 - 1 1 x - 4 = e lim x → - ∞ ⁡ 1 x - 4 ln ⁡ 2 x 2 - 1

lim x → - ∞ ⁡ 2 x 2 - 1 1 x - 4 = e 0

lim x → - ∞ ⁡ 2 x 2 - 1 1 x - 4 = 1

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

lim x → - ∞ ⁡ 2 x 2 - 1 1 x - 4 = 1

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Calcule o limite, se existir.underset(t - 0)(lim) (1)/(t sqrt(1 + t)) - (1)/(t)
Encontre o limite ou demonstre que não existe.underset(x - oo)(lim) sqrt(x^2 + a x) - sqrt(x^2 + b x)
Estime o valor de lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 + x usando uma tabela de valores para f ( x ) para conjecturar o valor do limite. Demonstre que sua conjectura está correta.
Encontre o limite ou demonstre que o mesmo não existe. lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x
Calcule.underset(x - 2^+)(lim) (x^2 - 4)/(x^2 - 4 x + 4)