1.1. Calcule, quando existirem, os limites abaixo:

v) lim x → + ∞ ⁡ x + 1 9 x + 1

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos que obter o limite da função f x = x + 1 9 x + 1 para x tendendo a + ∞ .

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

O cálculo de limite nada mais é o valor que a função f x tende para quando tendemos a um determinado valor a .

Nesse caso, não podemos simplesmente substituir x por e encontrar f ∞ pois se fizermos isso, vamos cair em uma indeterminação ∞ / ∞ .

Então vamos tentar manipular o limite para encontrar algo para nos ajudar.

Bora lá! 😁

Passo 2

O limite é dado por

lim x → + ∞ ⁡ x + 1 9 x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ x + 1 9 x + 1

Podemos aplicar uma propriedade de limites que diz que

lim x → a ⁡ f x = lim x → a ⁡ f x

Portanto...

lim x → + ∞ ⁡ x + 1 9 x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ x + 1 9 x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ x + 1 9 x + 1

Dividindo todos os termos por x , vamos obter que

lim x → + ∞ ⁡ x + 1 9 x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ x x + 1 x 9 x x + 1 x = lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 x 9 + 1 x

Assim, quando aplicamos o limite, os termos 1 / x vão a 0 pois temos um número pequeno sendo dividido por um número muito grande

lim x → + ∞ ⁡ x + 1 9 x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 x 9 + 1 x = 1 + 0 9 + 0

lim x → + ∞ ⁡ x + 1 9 x + 1 = 1 9

lim x → + ∞ ⁡ x + 1 9 x + 1 = 1 3

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x + 1 9 x + 1 = 1 3

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Calcule o limite, se existir.underset(t - 0)(lim) (1)/(t sqrt(1 + t)) - (1)/(t)
Encontre o limite ou demonstre que não existe.underset(x - oo)(lim) sqrt(x^2 + a x) - sqrt(x^2 + b x)
Estime o valor de lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 + x usando uma tabela de valores para f ( x ) para conjecturar o valor do limite. Demonstre que sua conjectura está correta.
Encontre o limite ou demonstre que o mesmo não existe. lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x
Calcule.underset(x - 2^+)(lim) (x^2 - 4)/(x^2 - 4 x + 4)