1.1. Calcule, quando existirem, os limites abaixo:

x) lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 - x 4 - 1

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema temos que obter o limite da função f x = x 2 + 1 - x 4 - 1 para x tendendo a + ∞ .

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

O cálculo de limite nada mais é o valor que a função f x tende para quando tendemos a um determinado valor a .

Nesse caso, não podemos simplesmente substituir x por e encontrar f ∞ pois se fizermos isso, vamos cair em uma indeterminação ∞ - ∞ .

Então vamos tentar manipular a função para encontrar algo para nos ajudar.

Bora lá! 😁

Passo 2

A função é dada por

f x = x 2 + 1 - x 4 - 1

Vamos dividir o numerador e o denominador por x 2 + 1 ...

f x = x 2 + 1 x 2 + 1 - x 4 - 1 x 2 + 1 1 x 2 + 1 = x 2 + 1 1 - x 4 - 1 x 2 + 1

Podemos fatorar o polinômio x 4 - 1 como x 2 + 1 x 2 - 1

f x = x 2 + 1 1 - x 2 + 1 x 2 - 1 x 2 + 1

Simplificando x 2 + 1 x 2 - 1 x 2 + 1 , temos

f x = x 2 + 1 1 - x 2 - 1

Entendeu o que fizemos aqui? 👀

Passo 3

Agora podemos aplicar o limite

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 - x 4 - 1 = lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 1 - x 2 - 1

Como o limite do produto é igual ao produto dos limites, então

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 - x 4 - 1 = lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 · lim x → + ∞ ⁡ 1 - x 2 - 1

Substituindo x por , vemos que os termos x 2 + 1 e x 2 - 1 tendem ao , ou seja

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 - x 4 - 1 = ∞ · 1 - ∞

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 - x 4 - 1 = ∞ · - ∞

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 - x 4 - 1 = - ∞

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 - x 4 - 1 = - ∞

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o limite, se existir.underset(t - 0)(lim) (1)/(t sqrt(1 + t)) - (1)/(t)
Encontre o limite ou demonstre que não existe.underset(x - oo)(lim) sqrt(x^2 + a x) - sqrt(x^2 + b x)
Estime o valor de lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 + x usando uma tabela de valores para f ( x ) para conjecturar o valor do limite. Demonstre que sua conjectura está correta.
Encontre o limite ou demonstre que o mesmo não existe. lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x
Calcule.underset(x - 2^+)(lim) (x^2 - 4)/(x^2 - 4 x + 4)