50. Calcule.

e) lim x → + ∞ ⁡ x + x - x - 1

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos calcular o limite lim x → + ∞ ⁡ x + x - x - 1 .

Quando temos a variável do limite tendendo a infinito, o que queremos é deixar o limite ou com a carinha de

lim x → ∞ ⁡ x n = ∞

Que vai dar infinito, ou queremos algo como

lim x → ∞ ⁡ c x n = 0

Nesse último temos c que é uma constante, mas qualquer constante dividida por números muuuuuuuuuuito grandes, porque x está tendendo ao infinito, vai tender a zero.

Se, quando substituirmos o x encontramos algo como " ∞ - ∞ " , chamamos isso de indeterminação e isso não pode. Nesse caso precisaremos achar uma forma de sumir com a indeterminação.

Bora pro exercício...

Passo 2

Repara que quando substituímos o x chegamos na indeterminação infinito menos infinito, então precisamos tirar essa indeterminação.

Como temos uma subtração que tem raiz, vamos multiplicar pelo conjugado em cima e embaixo:

lim x → + ∞ ⁡ x + x - x - 1 = lim x → + ∞ ⁡ x + x - x - 1 ⋅ x + x + x - 1 x + x + x - 1

= lim x → + ∞ ⁡ x + x 2 - x - 1 2 x + x + x - 1

= lim x → + ∞ ⁡ x + x - x - 1 x + x + x - 1

= lim x → + ∞ ⁡ x + x - x + 1 x + x + x - 1

= lim x → + ∞ ⁡ x + 1 x + x + x - 1

Passo 3

Ainda não dá pra resolver porque está dando infinito sobre infinito, né? Como temos uma fração, vamos colocar o x com maior expoente em evidência:

= lim x → + ∞ ⁡ x 1 + 1 x x x + x x + x - 1 x

Cortando o x da frente e colocando o x pra dentro da raiz, na parte de baixo:

= lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 x x + x x + x - 1 x

= lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 x 1 + x x + 1 - 1 x

Colocando esse outro x pra dentro da raiz, mas atenção porque agora x = x 2 :

= lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 x 1 + x x 2 + 1 - 1 x

= lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 x 1 + 1 x + 1 - 1 x

= 1 + 0 1 + 0 + 1 - 0

= 1 2

Resposta

1 2

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Calcule o limite, se existir.underset(t - 0)(lim) (1)/(t sqrt(1 + t)) - (1)/(t)
Encontre o limite ou demonstre que não existe.underset(x - oo)(lim) sqrt(x^2 + a x) - sqrt(x^2 + b x)
Estime o valor de lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 + x usando uma tabela de valores para f ( x ) para conjecturar o valor do limite. Demonstre que sua conjectura está correta.
Encontre o limite ou demonstre que o mesmo não existe. lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x
Calcule.underset(x - 2^+)(lim) (x^2 - 4)/(x^2 - 4 x + 4)