Exercícios Resolvidos de Indeterminação Infinito - Infinito

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Enunciado

1b) Calcule ou justifique caso não exista, cada um dos limites abaixo

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 3 - x 2 - 3 x + 3

Passo 1

Bora lá. A primeira coisa que a gente faz quando vê um limite é substituir pra ver o que acontece. Se fizermos isso, olha só o que conseguimos:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 3 - x 2 - 3 x + 3 = - ∞ 2 + 3 - - ∞ 2 - 3 - ∞ + 3 = ∞ - ∞

Opa. Isso da uma indeterminação! As coisas não podem ficar assim em! Vamos procurar então uma forma de sumir com a indeterminação.

Passo 2

Agora olha só, como eu tenho uma diferença de raizes no interior desse limite, uma boa primeira ideia pra sumir com a indeterminação seria multiplicar pelo conjugado. Saca só como fica:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 3 - x 2 - 3 x + 3 =

= lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 3 - x 2 - 3 x + 3 x 2 + 3 + x 2 - 3 x + 3 x 2 + 3 + x 2 - 3 x + 3

E nisso, temos:

= lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 3 - x 2 - 3 x + 3 x 2 + 3 + x 2 - 3 x + 3

= lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 3 - x 2 + 3 x - 3 x 2 + 3 + x 2 - 3 x + 3 = lim x → - ∞ ⁡ 3 x x 2 + 3 + x 2 - 3 x + 3

Agora vem uma parte enroladinha. Vamos colocar, em cima e em baixo, o termo de x com maior potência em evidência:

= lim x → - ∞ ⁡ x 3 x 2 1 + 3 x 2 + x 2 1 - 3 x + 3 x 2 = lim x → - ∞ ⁡ x 3 x ∙ 1 + 3 x 2 + x ∙ 1 - 3 x + 3 x 2

= lim x → - ∞ ⁡ x x ∙ 3 1 + 3 x 2 + 1 - 3 x + 3 x 2

Passo 3

E pra fechar esse limite com chave de ouro, vamos usar uma propriedade importante dos limites e reescrever para:

lim x → - ∞ ⁡ x x ∙ 3 1 + 3 x 2 + 1 - 3 x + 3 x 2 = lim x → - ∞ ⁡ x x ∙ lim x → - ∞ ⁡ 3 1 + 3 x 2 + 1 - 3 x + 3 x 2

O primeiro limite tem um cuidado que a gente tem que ter: o módulo. Como para x < 0 , pela definição de módulo, x = - x , o primeiro limite fica:

lim x → - ∞ ⁡ x x = lim x → - ∞ ⁡ - x x = lim x → - ∞ ⁡ - 1 = - 1

E pro segundo limite, temos então:

lim x → - ∞ ⁡ 3 1 + 3 x 2 + 1 - 3 x + 3 x 2 = 3 1 + 0 + 1 - 0 + 0 = 3 1 + 1 = 3 2

Resultado final do nosso limite vai ser:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 3 - x 2 - 3 x + 3 = lim x → - ∞ ⁡ x x ∙ lim x → - ∞ ⁡ 3 1 + 3 x 2 + 1 - 3 x + 3 x 2

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 3 - x 2 - 3 x + 3 = - 1 ∙ 3 2

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 3 - x 2 - 3 x + 3 = - 3 2

Resposta

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 3 - x 2 - 3 x + 3 = - 3 2

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