1.1. Calcule, quando existirem, os limites abaixo:

u) lim x → + ∞ ⁡ x + 1 3 - x 3

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos que obter o limite da função f x = x + 1 3 - x 3 para x tendendo a + ∞ .

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

O cálculo de limite nada mais é o valor que a função f x tende para quando tendemos a um determinado valor a .

Nesse caso, não podemos simplesmente substituir x por e encontrar f ∞ pois se fizermos isso, vamos cair em uma indeterminação ∞ - ∞ .

Então vamos tentar manipular a função para encontrar algo para nos ajudar.

Bora lá! 😁

Passo 2

A função é dada por

f x = x + 1 3 - x 3

Se dividirmos o numerador e o denominador por x + 1 3 , temos

f x = x + 1 3 x + 1 3 - x 3 x + 1 3 1 x + 1 3 = 1 - x 3 x + 1 3 1 x + 1 3

f x = 1 - x x + 1 3 1 x + 1 3

Aplicando o limite, temos

lim x → + ∞ ⁡ x + 1 3 - x 3 = lim x → + ∞ ⁡ 1 - x x + 1 3 1 x + 1 3

Aplicando a regra de L ' H o p i t a l dividindo o numerador e o denominador, temos

lim x → + ∞ ⁡ 1 - x 3 x + 1 3 1 x + 1 3 = lim x → + ∞ ⁡ d 1 - x x + 1 3 d x d 1 x + 1 3 d x

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Calculando as derivadas...

O numerador é obtido pela regra da cadeia

d 1 - x x + 1 3 d x = d 1 d x - d x x + 1 3 d x = d 1 d x - d x x + 1 d x · d u 3 d u

Pelo método de derivação polinomial e pela regra do quociente...

d 1 - x x + 1 3 d x = d 1 d x - d x d x · x + 1 - x · d x + 1 d x x + 1 2 · d u 3 d u

d 1 - x x + 1 3 d x = 0 - 1 · x + 1 - x · 1 x + 1 2 · 1 3 u 2 3

Simplificando e voltando u para x x + 1

d 1 - x x + 1 3 d x = - 1 x + 1 2 · 1 3 x x + 1 2 3

d 1 - x x + 1 3 d x = - 1 3 x 2 3 x + 1 4 3

Bacana, não é? 😊

Passo 4

Agora derivando o denominador do limite pela regra do quociente...

d 1 x + 1 3 d x = d 1 d x · x + 1 3 - 1 · d x + 1 3 d x x + 1 3 2

Aplicando a regra da cadeia na derivada de x + 1 3

d 1 x + 1 3 d x = d 1 d x · x + 1 3 - 1 · d x + 1 d x · d v 3 d v x + 1 3 2

Agora derivando pelo método de derivação polinomial...

d 1 x + 1 3 d x = 0 · x + 1 3 - 1 · 1 · 1 3 v 2 3 x + 1 2 3

Voltando v para x + 1 e simplificando o resultado

d 1 x + 1 3 d x = - 1 3 x + 1 2 3 x + 1 2 3

d 1 x + 1 3 d x = - 1 3 x + 1 2 3 x + 1 2 3

d 1 x + 1 3 d x = - 1 3 x + 1 4 3

Estamos chegando no fim!

Passo 5

Substituindo os resultados no limite, temos

lim x → + ∞ ⁡ x + 1 3 - x 3 = lim x → + ∞ ⁡ d 1 - x x + 1 3 d x d 1 x + 1 3 d x = lim x → + ∞ ⁡ - 1 3 x 2 3 x + 1 4 3 - 1 3 x + 1 4 3

lim x → + ∞ ⁡ x + 1 3 - x 3 = lim x → + ∞ ⁡ 3 x + 1 4 3 3 x 2 3 x + 1 4 3

Simplificando...

lim x → + ∞ ⁡ x + 1 3 - x 3 = lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2 3

E finalmente aplicando o limite, vamos obter que o termo x 2 3 vai a , logo

lim x → + ∞ ⁡ x + 1 3 - x 3 = lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2 3 = 1 ∞

lim x → + ∞ ⁡ x + 1 3 - x 3 = 0

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x + 1 3 - x 3 = 0

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Estime o valor de lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 + x usando uma tabela de valores para f ( x ) para conjecturar o valor do limite. Demonstre que sua conjectura está correta.
Encontre o limite ou demonstre que o mesmo não existe. lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x
Calcule.underset(x - 2^+)(lim) (x^2 - 4)/(x^2 - 4 x + 4)