Exercícios Resolvidos de Indeterminação Infinito - Infinito

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Enunciado

Calcule os seguintes limites (não é permitido o uso da regra de l’Hôspital):

a lim x → + ∞ ⁡ 2 x + 1 - x + 1

Passo 1

Substituindo o limite aí, temos uma indeterminação de ∞ - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ 2 x + 1 - x + 1 = ∞ - ∞ = ∞ - ∞

Temos que fugir dessa indeterminação. A boa é multiplicar e dividir esse cara pelo conjugado dele!

Passo 2

Se pegarmos o conjugado desse cara e multiplicarmos ele no denominador e no numerador, teremos:

lim x → + ∞ ⁡ 2 x + 1 - x + 1 . 2 x + 1 + x + 1 2 x + 1 + x + 1

Em cima temos um produto da soma pela diferença. Lembra dele? É isso aqui ó: a - b a + b = a 2 - b 2 .

= lim x → + ∞ ⁡ 2 x + 1 2 - x + 1 2 2 x + 1 + x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ 2 x + 1 - x + 1 2 x + 1 + x + 1

= lim x → + ∞ ⁡ x 2 x + 1 + x + 1 = ∞ ∞

Continuamos tendo indeterminação, mas agora é um quociente de polinômios

Passo 3

Como o grau do polinômio de cima é 1 e o de baixo é 1 2 , pois está dentro da raiz, teremos:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 x + 1 + x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ x 1 x 2 + 1 x + x 1 + 1 x

= lim x → + ∞ ⁡ x 1 x 2 + 1 x + x 1 + 1 x = lim x → + ∞ ⁡ x x 1 2 + 1 x + 1 + 1 x

Ao tirar o x da raiz aparece esse módulo.

Passo 4

Como estamos trabalhando para x positivo, x = x :

lim x → + ∞ ⁡ x x 1 2 + 1 x + 1 + 1 x

Como x = x 1 / 2 ,

x x = x x 1 / 2 = x 1 - 1 2 = x 1 / 2 = x

O nosso limite fica

lim x → + ∞ ⁡ x 1 2 + 1 x + 1 + 1 x

Temos que todos os termos com x no denominador vão para 0 quando x → + ∞ . Aplicando isso, temos:

lim x → + ∞ ⁡ x 1 2 + 1 x + 1 + 1 x = ∞ 1 2 + 0 + 1 + 0

= ∞ 1 2 + 1 = ∞

Logo,

lim x → + ∞ ⁡ 2 x + 1 - x + 1 = ∞

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ 2 x + 1 - x + 1 = ∞

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