As definições limites no infinito possuem versões formais semelhantes às que vimos para o limite usual. Tente formular uma definição precisa para todos os tipos de limites no infinito e depois pesquise se sua definição está correta.
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem?
Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?
O problema fala sobre as definições de limites no infinito

Podemos analisar os possíveis resultados olhando para
- A função pode valer um valor finito
- A função pode explodir para
- Ou a função pode explodir para
E essas três opções também podem ocorrer quando analisamos a função para
 ou seja, podemos ter muitos resultados quando tratamos de limites no infinito!
ou seja, podemos ter muitos resultados quando tratamos de limites no infinito!
Mas relaxa! Vamos ver uma definição que que reduza essas opções para duas quando , e podemos espelhar para
Vamos fazer passo a passo, juntinhos!
Passo 2
Primeiro vamos analisar limite no infinito. Vamos supor que exista o limite e ele é finito, assim
Vamos olhar para apenas o lado positivo de , então existe um certo valor de modo que e seja
Isso significa que o domínio da nossa função está no lado positivo e que o valor do limite é um valor real. Beleza até aqui?
 
  
 
  
E se você inverter para o lado negativo, , trocando e assim por diante, vai chegar no limite pela esquerda!
Obs.: lembrando que é um símbolo para números beeem pequenos na matemática! Beirando ao zero!
Passo 3
Agora vamos olhar com carinho para os limites no infinito que resultam em infinito!
Queremos uma forma de dizer que
Ou seja, que para qualquer que seja o valor de positivo, a função sempre vai valer um valor maior do que qualquer outro valor finito
 
 
Vamos colocar isso em termos matemáticos! Começando definindo que o conjunto do domínio da função seja real e esteja no lado positivo de
Agora, o limite da função explode para se existir um certo valor de , com , e que para qualquer valor de no conjunto (que pertence aos xizes positivos), tenhamos essa desigualdade aqui
Mostramos assim que não importa o valor de , temos que nossa sempre será maior: isso significa que a função explode no infinito!
 
  
Obs2.: lembrando que na matemática significa um número beeem grande
E taí nosso resultado!
Beleza?
Espero ter ajudado!
