Determine

lim x → ∞ ⁡ 9 x 8 - x x 3 + 1

Passo 1

Tudo na tranquilidade aí galerinha!?

Então, essas questões de limite a gente sempre deve seguir meio que um passo-a-passo e o primeiro dele é testar direto o limite pra ver se vai dar bom. Se ele der indeterminação, aí vamos precisar usar algumas técnicas, beleza?

Passo 2

Primeiro, vamos checar!!

lim x → ∞ ⁡ 9 x 8 - x x 3 + 1 = ∞ ∞ = I N D E T E R M I N A Ç Ã O

Escolha da estratégia: Para resolver esse limite, iremos pôr em cima e em baixo o termo de maior expoente. Isso é uma boa ideia porque nos ajuda a escrever termos com:

C x n

Onde, independente de quem é a constante C , se n > 0 vamos ter:

lim x → - ∞ ⁡ C x n = 0

Escolhida a estratégia, só pôr a mão na massa!

Passo 3

Nosso limite é:

lim x → - ∞ ⁡ 9 x 6 - x x 3 + 1

Colocando em evidência os termos de maior expoente, temos:

lim x → - ∞ ⁡ x 6 9 - 1 x 5 x 3 1 + 1 x 3

Note que, como:

x 2 = x

Vamos ter:

x 6 = x 3

Nosso limite se torna então:

lim x → - ∞ ⁡ x 6 9 - 1 x 5 x 3 1 + 1 x 3 = lim x → - ∞ ⁡ x 6 ∙ 9 - 1 x 5 x 3 ∙ 1 + 1 x 3 = lim x → - ∞ ⁡ x 3 x 3 ∙ lim x → - ∞ ⁡ 9 - 1 x 5 1 + 1 x 3

Vamos resolver agora cada um desses limites de forma isolada!

Passo 4

Passo 5

lim x → - ∞ ⁡ x 3 x 3

Note que da definição de módulo, temos:

x 3 = x 3 ,     s e   x 3 ≥ 0 - x 3 ,     s e   x 3 < 0

x 3 = x 3 ,     s e   x ≥ 0 - x 3 ,     s e   x < 0

Como nosso limite é x → - ∞ , a lei de formação que tá valendo é a segunda! Então substituímos:

lim x → - ∞ ⁡ x 3 x 3 = lim x → - ∞ ⁡ - x 3 x 3 = lim x → - ∞ ⁡ - 1 = - 1

Agora pro segundo limite, temos:

lim x → - ∞ ⁡ 9 - 1 x 5 1 + 1 x 3 =

Usando as propriedades dos limites, vemos que isso é igual a:

= lim x → - ∞ ⁡ 9 - lim x → - ∞ ⁡ 1 x 5 lim x → - ∞ ⁡ 1 + lim x → - ∞ ⁡ 1 x 3 = 9 - 0 1 + 0 = 9 = 3

Feshow então! O resultado vai ser:

lim x → - ∞ ⁡ 9 x 6 - x x 3 + 1 = lim x → - ∞ ⁡ x 3 x 3 ∙ lim x → - ∞ ⁡ 9 - 1 x 5 1 + 1 x 3

lim x → - ∞ ⁡ 9 x 6 - x x 3 + 1 = - 1 ∙ 3

lim x → - ∞ ⁡ 9 x 6 - x x 3 + 1 = - 3

Resposta

lim x → - ∞ ⁡ 9 x 6 - x x 3 + 1 = - 3

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Calcule o limite, se existir.underset(t - 0)(lim) (1)/(t sqrt(1 + t)) - (1)/(t)
Encontre o limite ou demonstre que não existe.underset(x - oo)(lim) sqrt(x^2 + a x) - sqrt(x^2 + b x)
Estime o valor de lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 + x usando uma tabela de valores para f ( x ) para conjecturar o valor do limite. Demonstre que sua conjectura está correta.
Encontre o limite ou demonstre que o mesmo não existe. lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x
Calcule.underset(x - 2^+)(lim) (x^2 - 4)/(x^2 - 4 x + 4)