Exercícios Resolvidos de Indeterminação Infinito - Infinito

Ver Teoria

Enunciado

Calcule:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1534 - x  

Passo 1

Primeiramente, substituímos o valor do x , mas como nesse caso o “valor” não é um número, e sim o infinito, basta avaliarmos os limites separados de cada função.

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1534 = + ∞

l i m x → + ∞ x = + ∞

Portanto, temos uma indeterminação do tipo ∞ - ∞ .

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1534 - x = ∞ - ∞

Podemos fazer uma manipulação algébrica para transformar esse limite em um limite que não possui indeterminação.

Passo 2

Recordemos do seguinte produto notável:

a - b a + b = a 2 - b 2

Repare que ele permite pegar uma diferença ou uma soma e elevar ao quadrado os seus termos. Ao trabalhar com raízes quadradas, esse produto notável é muito útil.

Como no nosso limite estamos trabalhando com uma diferença de termos, isolamos ela na fórmula:

a - b = a 2 - b 2 a + b

Portanto podemos aplicá-la no nosso problema para nos livrar da diferença das raízes. Repare que não são as raízes em si que são o problema, são as diferenças, pois elas que resultam num zero no denominador e no numerador. Segue que:

x 2 + 1534 - x = x 2 + 1534 - x 2 x 2 + 1534 + x

x 2 + 1534 - x = 1534 x 2 + 1534 + x

Vamos ter então

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1534 - x = lim x → + ∞ ⁡ 1534 x 2 + 1534 + x

Passo 3

Substituindo o valor de x na nova expressão, podemos avaliar o limite:

lim x → + ∞ ⁡ 1534 x 2 + 1534 + x = 1534 ∞ + ∞

lim x → + ∞ ⁡ 1534 x 2 + 1534 + x = 1534 ∞ = 0

Como o resultado deu um número, achamos nosso limite:

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1534 - x = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o limite, se existir. lim t → 0 ⁡ 1 t 1 + t - 1 t
Estime o valor de lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 + x   usando uma tabe
Encontre o limite lim x → ∞ ⁡ x 2 + a x - x 2 + b x
Encontre o limite lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x