Sejam a e b números reais tais que

lim x → ∞ ⁡ b x 2 + a x + 15 - x = - 7

O valor de a + b é

a ) - 19

b ) - 8

c ) - 18

d ) - 13

e ) - 20

Passo 1

Faaaala, blz? Bora lá para a última questão dessa prova.

Esse problema pede para gente calcular um limite de algo com x → ∞ , porém, veja que esse limite existe e é igual a - 7 . Ou seja, se simplesmente olharmos para x indo para o infinito, teremos dificuldade para analisar o problema, algo que pode nos ajudar é colocar uma fração nessa expressão, pois quando temos algo do tipo a x e x indo para infinito, esses termos vão para zero e ajudam.

Passo 2

Ou seja, nosso objetivo aqui é forçar aparecer um denominador, como podemos fazer isso? Podemos fazer isso de uma forma esperta, multiplicando pelo conjugado dessa expressão. Ou seja:

lim x → ∞ ⁡ ( b x 2 + a x + 15 - x ) ( b x 2 + a x + 15 + x ) ( b x 2 + a x + 15 + x )

A motivação de usar isso é sumir com a raiz do numerador, pois podemos usar a seguinte fatoração:

a 2 - b 2 = ( a - b ) ( a + b )

Usando essa fatoração, temos:

lim x → ∞ ⁡ b x 2 + a x + 15 - x 2 ( b x 2 + a x + 15 + x )

Ou seja:

lim x → ∞ ⁡ ( b - 1 ) x 2 + a x + 15 ( b x 2 + a x + 15 + x )

Passo 3

Agora, vamos fazer o que foi dito no começo, queremos fazer aparecer coisas do tipo a x , para isso, vamos colocar em evidencia da seguinte forma:

lim x → ∞ ⁡ ( b - 1 ) x 2 + a x + 15 x ( b + a x + 15 x 2 + 1 ) = - 7

Ou seja:

lim x → ∞ ⁡ b - 1 x + a + 15 x ( b + a x + 15 x 2 + 1 ) = - 7

Agora temos que refletir. O denominador desse limite é um número real que podemos calcular, ou seja, não temos problema com ele, porém se olharmos para o numerador temos um problema.

b - 1 x + a + 15 x

Veja que a única chance desse limite dar problema é o termo b - 1 x ir para infinito, quando x   vai para infinito, assim o limite nunca seria igual a - 7 , pois teríamos algo indo para infinito, sobre um número, sendo igual a -7, seria impossível.

Ou seja, nós temos que fazer o termo b - 1 x não ir para infinito quando x vai, como fazer isso?

Basta fazermos com que b - 1 = 0 , ou seja b = 1 . Se isso ocorrer tá tudo certo, o limite pode e vai existir.

Agora bora voltar usando b = 1 :

lim x → ∞ ⁡ a + 15 x 1 + a x + 15 x 2 + 1 =

Olhando no limite:

= a 1 + 1 = - 7

E por isso, temos: a = - 14

Dai, a + b =   - 14 + 1 = - 13 e assim terminamos essa provinha, uma questão interessante para aprender de verdade, pois é bem comum aparecer problemas assim, que fazem a gente pensar nas condições para um limite funcionar.

Resposta

Letra D

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o limite, se existir.underset(t - 0)(lim) (1)/(t sqrt(1 + t)) - (1)/(t)
Encontre o limite ou demonstre que não existe.underset(x - oo)(lim) sqrt(x^2 + a x) - sqrt(x^2 + b x)
Estime o valor de lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 + x usando uma tabela de valores para f ( x ) para conjecturar o valor do limite. Demonstre que sua conjectura está correta.
Encontre o limite ou demonstre que o mesmo não existe. lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x
Calcule.underset(x - 2^+)(lim) (x^2 - 4)/(x^2 - 4 x + 4)