50. Calcule.

f) lim x → + ∞ ⁡ x - 2 + x 3 3

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos calcular o limite lim x → + ∞ ⁡ x - 2 + x 3 3 .

Quando temos a variável do limite tendendo a infinito, o que queremos é deixar o limite ou com a carinha de

lim x → ∞ ⁡ x n = ∞

Que vai dar infinito, ou queremos algo como

lim x → ∞ ⁡ c x n = 0

Nesse último temos c que é uma constante, mas qualquer constante dividida por números muuuuuuuuuuito grandes, porque x está tendendo ao infinito, vai tender a zero.

Se, quando substituirmos o x encontramos algo como " ∞ - ∞ " , chamamos isso de indeterminação e isso não pode. Nesse caso precisaremos achar uma forma de sumir com a indeterminação.

Bora pro exercício...

Passo 2

Repara que quando substituímos o x chegamos na indeterminação infinito menos infinito, então precisamos tirar essa indeterminação.

Como temos uma subtração que tem raiz, vamos multiplicar pelo conjugado em cima e embaixo, MAAAAASSSSSS...

Lembra que quando temos raiz quadrada tipo c - d , o conjugado seria c + d pra ficarmos com:

c - d c + d = c 2 - d 2

= c - d

Mas dessa vez temos a raiz cúbica. O conjugado é diferente. Podemos usar o produto notável:

a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2  

Então, se quisermos usar na forma de raiz cúbica, fica:

c - d = c 3 3 - d 3 3  

= c 3 - d 3 c 3 2 + c 3 d 3 + d 3 2

Pra nossa questão, já que temos x - 2 + x 3 3 , o conjugado será x 2 + x 2 + x 3 3 + 2 + x 3 3 2 .

Passo 3

Agora sim, multiplicando pelo conjugado em cima e embaixo:

lim x → + ∞ ⁡ x - 2 + x 3 3 = lim x → + ∞ ⁡ x - 2 + x 3 3 ⋅ x 2 + x 2 + x 3 3 + 2 + x 3 3 2 x 2 + x 2 + x 3 3 + 2 + x 3 3 2

= lim x → + ∞ ⁡ x 3 - 2 + x 3 3 3 x 2 + x 2 + x 3 3 + 2 + x 3 3 2

= lim x → + ∞ ⁡ x 3 - 2 + x 3 x 2 + x 2 + 3 x 3 3 + 2 + 3 x 3 3 2

= lim x → + ∞ ⁡ x 3 - 2 - x 3 x 2 + x 2 + 3 x 3 3 + 2 + 3 x 3 3 2

= lim x → + ∞ ⁡ - 2 x 2 + x 2 + 3 x 3 3 + 2 + 3 x 3 3 2

= 0

Resposta

0

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