1.2. A resolução abaixo está INCORRETA. Indique onde ocorrem os erros e então calcule o limite correta.

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + x - x = lim x → + ∞ ⁡ x 2 1 + 1 x - x = lim x → + ∞ ⁡ x 1 + 1 x - 1 = lim x → + ∞ ⁡ x · 0 = 0

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema temos que obter o limite da função f x = x 2 + x - x para x tendendo a + ∞ e mostrar onde está o erro da resolução do enunciado.

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

O cálculo de limite nada mais é o valor que a função f x tende para quando tendemos a um determinado valor a .

Nesse caso, não podemos simplesmente substituir x por + ∞ e encontrar f + ∞ pois se fizermos isso, vamos cair em uma indeterminação ∞ - ∞ .

Então vamos tentar manipular a função para encontrar algo para nos ajudar.

Bora lá! 😁

Passo 2

Primeiro vamos analisar a resolução do enunciado

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + x - x

Foi colocado x 2 em evidência dentro da raiz, ou seja

lim x → + ∞ ⁡ x 2 1 + 1 x - x

Em seguida foi aplicado a propriedade de a · b = a · b

lim x → + ∞ ⁡ x 2 1 + 1 x - x = lim x → + ∞ ⁡ x 1 + 1 x - x

E depois foi colocado x em evidência

lim x → + ∞ ⁡ x 1 + 1 x - 1

Até então está tudo bem, não há nada de errado.

Porém ao aplicar o limite, ele ignorou o termo x fora dos parênteses e aplicou o limite em 1 + 1 x - 1 que resulta em 0 .

Porém (novamente) não podemos dizer que pelo motivo do termo 1 + 1 x - 1 ir a 0 em x → ∞ a função inteira vai a 0 . Isso porque há um x que multiplica o termo que vai a 0 e x tende a mais rápido do que 1 + 1 x - 1 tende a 0 .

Portanto, nessa etapa do problema que houve o erro.

Conseguiu entender? 👀

Passo 3

Agora vamos refazer o cálculo do início

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + x - x

Vamos multiplicar a função no numerador e no denominador pelo conjugado da função

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + x - x · x 2 + x + x x 2 + x + x

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + x - x x 2 + x + x x 2 + x + x

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + x 2 - x 2 x 2 + x + x = lim x → + ∞ ⁡ x 2 + x - x 2 x 2 + x + x

lim x → + ∞ ⁡ x x 2 + x + x

Fazendo aquele truque de colocar o x em evidência no x 2 + x + x

lim x → + ∞ ⁡ x x 1 + 1 x + 1

Simplificando a equação

lim x → + ∞ ⁡ 1 1 + 1 x + 1

Agora sim, a raiz que contém o x não est�� sendo multiplicada pela variável x e podemos aplicar o limite

lim x → + ∞ ⁡ 1 1 + 1 x + 1 = 1 1 + 0 + 1

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + x - x = 1 2

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + x - x = 1 2

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o limite, se existir.underset(t - 0)(lim) (1)/(t sqrt(1 + t)) - (1)/(t)
Encontre o limite ou demonstre que não existe.underset(x - oo)(lim) sqrt(x^2 + a x) - sqrt(x^2 + b x)
Estime o valor de lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 + x usando uma tabela de valores para f ( x ) para conjecturar o valor do limite. Demonstre que sua conjectura está correta.
Encontre o limite ou demonstre que o mesmo não existe. lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x
Calcule.underset(x - 2^+)(lim) (x^2 - 4)/(x^2 - 4 x + 4)