Exercícios Resolvidos de Inequações modulares

Em cada caso abaixo, expresse a(s) condição(ões) dadas em termos de equações ou inequações envolvendo valores absolutos e determine os respectivos conjuntos solução.

A diferença entre as distâncias de x a - 2 e 3 é exatamente igual a 5

Passo 1

A ideia de distância entre números reais é a nossa ideia de módulo.

Então a distância de x à - 2 vai ser

x - - 2

x + 2

Enquanto a distância de x à 3 vai ser

x - 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ele disse que A diferença entre as distâncias de x a - 2 e 3 é exatamente igual a 5 .

Isso quer dizer que se subtrairmos as distâncias, devemos ter exatamente 5 .

x + 2 - x - 3 = 5

Essa vai ser a nossa Equação.

Passo 3

Precisamos fazer os dos módulos e ver como será a expressao, primeiro vamos pegar módulo x + 2

x + 2 = x + 2 , x + 2 ≥ 0 - x + 2 , x + 2 < 0

Resolvendo aquela inequação, vamos ter

x + 2 ≥ 0

x ≥ - 2

E

x + 2 < 0

x < - 2

Resultando em

x + 2 = x + 2 , x ≥ - 2 - x - 2 , x < - 2

Passo 4

Vamos para o módulo x - 3

x - 3 = x - 3 , x - 3 ≥ 0 - x - 3 , x - 3 < 0

Resolvendo aquela inequação, vamos ter

x - 3 ≥ 0

x ≥ 3

E

x - 3 < 0

x > 3

Resultando em

x - 3 = x - 3 , x ≥ 3 - x - 3 , x < 3

E vamos ter

x - 3 = x - 3 , x ≥ 3 - x + 3 , x < 3

Passo 5

Vamos agora juntar todos esses módulos

Temos que olhar os intervalos primeiro, para entendermos como vai ficar

x ≥ - 2 x < - 2       e       x ≥ 3 x < 3

Então, no fundo temos

Fazendo a soma, vamos ter

x + 2 - x - 3 = x + 2 - x - 3 , x ≥ 3 x + 2 - - x + 3 , - 2 ≤ x < 3 - x - 2 - - x + 3 , x < - 2

Vai ficar

x + 2 - x - 3 = x + 2 - x + 3 , x ≥ 3 x + 2 + x - 3 , - 2 ≤ x < 3 - x - 2 + x - 3 , x < - 2

x + 2 - x - 3 = 5 , x ≥ 3 2 x - 1 , - 2 ≤ x < 3 - 5 , x < - 2

Vamos ter 3 equações para resolver em cada letra.

Passo 6

Com x ≥ 3

5 = 5

Mas isso é verdadeiro para qualquer valor do intervalo, então a solução vai ser

x ≥ 3

Em forma de intervalo

3 , + ∞

Passo 7

Com - 2 ≤ x < 3

2 x - 1 = 5

2 x = 5 + 1

2 x = 6

x = 3

Esse valor não está no intervalo, então não teremos solução aqui

Passo 8

Com x < - 2

- 5 = 5

Mas isso é falso para qualquer valor do intervalo, então não teremos solução aqui

A nossa solução vai ser

3 , + ∞

Resposta

3 , + ∞

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas