Exercícios Resolvidos de Inequações modulares

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Enunciado

Resolva para x e represente a solução na reta numérica

x 2 - 5 x < x 2 - 5 x

Passo 1

Usando a definição de módulo para a função dentro do primeiro módulo:

x 2 - 5 x = - x 2 - 5 x 0 ≤ x ≤ 5 x 2 - 5 x x < 0   e   x > 5

Para os demais:

x = x x ≥ 0 - x x < 0

E:

5 x = 5 x x ≥ 0 - 5 x x < 0

Juntamos os intervalos, obtemos três intervalos onde as funções mudam:

x < 0

0 < x < 5

x > 5

Vamos testar para cada um deles.

Passo 2

Para x < 0 :

x 2 - 5 x = x 2 - 5 x

x = - x

5 x = - 5 x

Assim, temos:

x 2 - 5 x < - x 2 - - 5 x

x 2 - 5 x < x 2 + 5 x

Ou seja:

- 5 x < 5 x

Muita atenção agora!! Podemos dividir por x , já que x ≠ 0 , mas como x < 0 temos que inverter o sinal da inequação, obtendo:

- 5 > 5

O que é totalmente absurdo!

Logo, a inequação será falsa para todo x < 0 .

Passo 3

Para 0 < x < 5 :

x 2 - 5 x = - ( x 2 - 5 x )

x = x

5 x = 5 x

Assim, temos:

- ( x 2 - 5 x ) < x 2 - 5 x

x 2 - 5 x > 5 x - x 2

Ou seja:

2 x 2 - 10 x > 0

x 2 - 5 x > 0

⇒ x ∈ - ∞ , 0 ∪ 5 , ∞

Ou seja, justamente esse intervalo que estamos testando, 0 < x < 5 , é onde a inequação é falsa.

Passo 4

Para x > 5 :

x 2 - 5 x = x 2 - 5 x

x = x

5 x = 5 x

Assim, temos:

x 2 - 5 x < x 2 - 5 x

0 < 0

Que não é verdade para nenhum valor de x , ou seja, x > 5 não satisfaz a inequação.

Portanto, nenhum valor de x satisfaz a inequação:

S = ∅

Resposta

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