Exercícios Resolvidos de Inequações modulares

Resolva em R as seguintes inequações

x + 2 > x - 3

Passo 1

Precisamos fazer os dos módulos, primeiro vamos pegar x - 3

x - 3 = x - 3 , x - 3 ≥ 0 - x - 3 , x - 3 < 0

Resolvendo aquela inequação, vamos ter

x - 3 ≥ 0

x ≥ 3

E

x - 3 < 0

x < 3

Resultando em

x - 3 = x - 3 , x ≥ 3 - x + 3 , x < 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos para o segundo módulo x + 2

x + 2 = x + 2 , x + 2 ≥ 0 - x + 2 , x + 2 < 0

Resolvendo aquela inequação, vamos ter

x + 2 ≥ 0

x ≥ - 2

E

x + 2 < 0

x < - 2

Resultando em

x + 2 = x + 2 , x ≥ - 2 - x + 2 , x < - 2

Estamos deixando os parênteses para facilitar o produto lá na frente.

Passo 3

Vamos agora juntar todos esses módulos

Temos que olhar os intervalos primeiro, para entendermos como vai ficar

x ≥ 3 x < 3       e       x ≥ - 2 x < - 2

Então, no fundo temos três intervalos para a inequação

| x + 2 | > x - 3 ⇒ x + 2 > x - 3 , x ≥ 3 x + 2 > - x + 3 , - 2 ≤ x < 3 - x - 2 > - x + 3 , x < - 2

Vamos ter 3 casos para resolver

Passo 4

Com x ≥ 3

x + 2 > x - 3

2 > - 3

Mas isso é verdade sempre, então a nossa solução aqui é o próprio intervalo

x ≥ 3

Em forma de intervalo

3 , + ∞

Passo 5

Com - 2 ≤ x < 3

x + 2 > - x + 3

x + x > 3 - 2

2 x > 1

x > 1 2

Juntando isso com o nosso intervalo, vamos ter

1 2 < x < 3

Em forma de intervalo

1 2 , 3

Passo 6

Com x < - 2

- x - 2 > - x + 3

- 2 > 3

Mas isso é falso sempre, então não temos solução aqui

Passo 7

Juntando tudo, vamos ter

3 , + ∞

1 2 , 3

Então a resposta sera

1 2 , + ∞

Resposta

1 2 , + ∞

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