Exercícios Resolvidos de Inequações modulares

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Enunciado

Seja f x = x - 4 + x + 4 .

a) Determine o domínio da função, expresse f x sem usar módulo e esboce o seu gráfico.

c) Encontre todos os valores de x ∈ R tais que 10 ≤ f x ≤ 12 .

Passo 1

a)

O domínio da função módulo é R , então a função f não tem nenhum tipo de restrição e o domínio dela também é R .

Passo 2

Agora vamos tirar o módulo da f .

Repare que x - 4 = 0 para x = 4 , e x + 4 = 0 para x = - 4 , então vamos estudar a função nos intervalos x < - 4 ,   - 4 ≤ x < 4 e x ≥ 4 .

Passo 3

Quando   x < - 4 , temos:

x - 4 < 0 x + 4 < 0

Logo:

x - 4 = - x - 4 = - x + 4

x + 4 = - x + 4 = - x - 4

Então, nesse caso a função é:

f x = - x + 4 - x - 4 = - 2 x

Passo 4

Quando - 4 ≤ x < 4 :

x - 4 < 0 x + 4 ≥ 0

Logo:

x - 4 = - x - 4 = - x + 4

x + 4 = x + 4

Então nesse intervalo a função é:

f x = - x + 4 + x + 4 = 8

Passo 5

Finalmente, quando x ≥ 4 :

x - 4 ≥ 0 x + 4 > 0

Portanto:

x - 4 = x - 4

x + 4 = x + 4

Então a f é:

f x = x - 4 + x + 4 = 2 x

Passo 6

Concluímos que a função pode ser escrita assim:

f x = - 2 x , x < - 4 8 , - 4 ≤ x < 4 2 x , x ≥ 4

Passo 7

E o gráfico dela é:

Passo 8

c)

Na letra (a) vimos que

f x = - 2 x , x < - 4 8 , - 4 ≤ x < 4 2 x , x ≥ 4

8 nunca é maior que 10 (não me diga), então vamos ver para que valores de x temos 10 ≤ - 2 x ≤ 12 ou 10 ≤ 2 x ≤ 12 :

10 ≤ - 2 x ≤ 12 ⇒ - 5 ≥ x ≥ - 6

10 ≤ 2 x ≤ 12 ⇒ 5 ≤ x ≤ 6

Portanto, temos 10 ≤ f x ≤ 12 para x ∈ - 6 ,   - 5 ∪ 5 ,   6 .

Resposta

a)

Domínio da f : R

f escrita sem módulo:

f x = - 2 x , x < - 4 8 , - 4 ≤ x < 4 2 x , x ≥ 4

Gráfico:

c)

x ∈ - 6 ,   - 5 ∪ 5 ,   6

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