Exercícios Resolvidos de Inequações modulares

Em cada caso abaixo, expresse a(s) condição(ões) dadas em termos de equações ou inequações envolvendo valores absolutos e determine os respectivos conjuntos solução.

x está mais próximo de 5 do que de 2

Passo 1

A ideia de distância entre números reais é a nossa ideia de módulo.

Então a distância de x à 5 vai ser

x - 5

Enquanto a distância de x à 2 vai ser

x - 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ele disse que x está mais próximo de 5 do que de 2   , isso quer dizer que a distância para 5 é menor que a distância para 2

x - 5 < x - 2

Essa vai ser a nossa inequação.

Passo 3

Precisamos fazer os dos módulos, primeiro vamos pegar x - 5

x - 5 = x - 5 , x - 5 ≥ 0 - x - 5 , x - 5 < 0

Resolvendo aquela inequação, vamos ter

x - 5 ≥ 0

x ≥ 5

E

x - 5 < 0

x < 5

Resultando em

x - 5 = x - 5 , x ≥ 5 - x + 5 , x < 5

Passo 4

Vamos para o segundo módulo x - 2

x - 2 = x - 2 , x - 2 ≥ 0 - x - 2 , x - 2 < 0

Resolvendo aquela inequação, vamos ter

x - 2 ≥ 0

x ≥ 2

E

x - 2 < 0

x > 2

Resultando em

x - 2 = x - 2 , x ≥ 2 - x - 2 , x < 2

E vamos ter

x - 2 = x - 2 , x ≥ 2 - x + 2 , x < 2

Passo 5

Vamos agora juntar todos esses módulos

Temos que olhar os intervalos primeiro, para entendermos como vai ficar

x ≥ 5 x < 5       e       x ≥ 2 x < 2

Então, no fundo temos três intervalos para a inequação

x - 5 < x - 2 ⇒ x - 5 < x - 2 , x ≥ 5 - x + 5 < x - 2 , 2 ≤ x < 5 - x + 5 < - x + 2 , x < 2

Vamos ter 3 casos para resolver

Passo 6

Com x ≥ 5

x - 5 > x - 2

- 5 > - 2

Mas isso é falso sempre, então não temos solução aqui

Passo 7

Com 2 ≤ x < 5

- x + 5 > x - 2

5 + 2 > x + x

7 > 2 x

7 2 > x

Invertendo

x < 7 2

Juntando isso com o nosso intervalo, vamos ter

2 ≤ x < 7 2

Em forma de intervalo

2 , 7 2

Passo 8

Com x < 2

- x + 5 < - x + 2

5 < 2

Mas isso é falso sempre, então não temos solução aqui

A nossa única solução vai ser

2 , 7 2

Resposta

2 , 7 2

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