Exercícios Resolvidos de Inequações modulares

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Enunciado

Resolva as seguintes inequações

x - 2 - x x + 2 < 1

Passo 1

Precisamos fazer os dos módulos e ver como será a expressão, primeiro vamos pegar x - 2

x - 2 = x - 2 , x - 2 ≥ 0 - x - 2 , x - 2 < 0

Resolvendo aquela inequação, vamos ter

x - 2 ≥ 0

x ≥ 2

E

x - 2 < 0

x > 2

Resultando em

x - 2 = x - 2 , x ≥ 2 - x - 2 , x < 2

E vamos ter

x - 2 = x - 2 , x ≥ 2 - x + 2 , x < 2

Passo 2

Vamos para o segundo módulo x + 2

x + 2 = x + 2 , x + 2 ≥ 0 - x + 2 , x + 2 < 0

Resolvendo aquela inequação, vamos ter

x + 2 ≥ 0

x ≥ - 2

E

x + 2 < 0

x < - 2

Resultando em

x + 2 = x + 2 , x ≥ - 2 - x - 2 , x < - 2

Passo 3

Vamos agora juntar todos esses módulos

Temos que olhar os intervalos primeiro, para entendermos como vai ficar

x ≥ - 2 x < - 2       e       x ≥ 2 x < 2

Então, no fundo temos

Fazendo a soma, vamos ter

x - 2 - x x + 2 = x - 2 - x x + 2 , x ≥ 2 - x + 2 - x x + 2 , - 2 ≤ x < 2 - x + 2 - x - x - 2 , x < - 2

Vai ficar

x - 2 - x x + 2 = x - 2 - x 2 - 2 x , x ≥ 2 - x + 2 - x 2 - 2 x , - 2 ≤ x < 2 - x + 2 + x 2 + 2 x , x < - 2

x - 2 - x x + 2 = - x 2 - x - 2 , x ≥ 2 - x 2 - 3 x + 2 , - 2 ≤ x < 2 x 2 + x + 2 , x < - 2

Vamos ter 3 inequações para resolver em cada intervalo.

x - 2 - x x + 2 < 1 ⇒ - x 2 - x - 2 < 1 , x ≥ 2 - x 2 - 3 x + 2 < 1 , - 2 ≤ x < 2 x 2 + x + 2 < 1 , x < - 2

Passo 4

Com x ≥ 2

- x 2 - x - 2 < 1

- x 2 - x - 2 - 1 <

- x 2 - x - 3 < 0

Multiplicando por - 1

x 2 + x + 3 > 0

Repara que x ≥ 2 , então, tanto x 2 quando x é positivo

Isso vai nos dizer que

x 2 + x + 3

É sempre positivo.

Então a solução vai ser o nosso intervalo

x ≥ 2

Em forma de intervalo

2 , + ∞

Passo 5

Com - 2 ≤ x < 2

- x 2 - 3 x + 2 < 1

- x 2 - 3 x + 2 - 1 < 0

- x 2 - 3 x + 1 < 0

Multiplicando por - 1

x 2 + 3 x - 1 > 0

isso é uma função de segundo grau.

Vamos começar achando suas raízes

x 2 + 3 x - 1 = 0

x = - 3 ± 3 2 - 4 1 - 1 2 1

x = - 3 ± 9 + 4 2

x = - 3 ± 13 2

AS raízes vão ser

x 1 = - 3 + 13 2

E

x 2 = - 3 - 13 2

Como a > 0 , o seu gráfico será algo assim

Entre as raízes é negativo e fora é positivo.

Como ele quer a parte negativa, vamos pegar

- ∞ , - 3 - 13 2 ∪ - 3 + 13 2 , + ∞

Nesse intervalo, temos que ele começa em - 2 , assim, vamos pegar só o intervalo da direita

- 3 + 13 2 , + ∞

Passo 6

Com x < - 2

x 2 + x + 2 < 1

x 2 + x + 1 < 0

isso é uma função de segundo grau.

Vamos começar achando suas raízes

x 2 + x + 1 = 0

x = - 1 ± 1 2 - 4 1 1 2 1

x = - 1 ± 1 - 4 2

x = - 1 ± - 3 2

Opa, aquela raiz quadrada não existe nos reais.

Assim, como a > 0 , vamos ter que a função é toda positiva

Como ele quer a parte negativa, não teremos solução aqui

Passo 7

Juntando tudo, vamos ter

2 , + ∞

- 3 + 13 2 , + ∞

Como

- 3 + 13 2 ≅ 0,3

E queremos juntar os dois, a solução vai ser

- 3 + 13 2 , + ∞

Resposta

- 3 + 13 2 , + ∞

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