Exercícios Resolvidos de Inequações modulares

Resolva as seguintes inequações

x 2 - 4 + 2 x + 1 ≥ 0

Passo 1

Precisamos começar vendo como será aquele módulo

x 2 - 4 = x 2 - 4 , x 2 - 4 ≥ 0 - x 2 - 4 , x 2 - 4 < 0

Vamos ver o sinal de x 2 - 4

isso é uma função de segundo grau.

Vamos começar achando suas raízes

x 2 - 4 = 0

x 2 = 4

x = ± 2

AS raízes vão ser

x 1 = 2

E

x 2 = - 2

Como a > 0 , o seu gráfico será algo assim

Entre as raízes é negativo e fora é positivo.

Assim, o módulo vai ficar

x 2 - 4 = x 2 - 4 , x ≤ - 2       o u         x ≥ 2 - x 2 - 4 , - 2 < x < 2

x 2 - 4 = x 2 - 4 , x ≤ - 2       o u         x ≥ 2 - x 2 + 4 , - 2 < x < 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A inequação vai ficar

x 2 - 4 + 2 x + 1 ≥ 0 ⇒ x 2 - 4 + 2 x + 1 ≥ 0 , x ≤ - 2       o u         x ≥ 2 - x 2 + 4 + 2 x + 1 ≥ 0 , - 2 < x < 2

x 2 - 4 + 2 x + 1 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2 x - 3 ≥ 0 , x ≤ - 2       o u         x ≥ 2 - x 2 + 2 x + 5 ≥ 0 , - 2 < x < 2

Precisamos analisar cada inequação dessa separadamente.

Passo 3

Vamos começar com

x 2 + 2 x - 3 ≥ 0

Onde x ≤ - 2       o u         x ≥ 2

isso é uma função de segundo grau.

Vamos começar achando suas raízes

x 2 + 2 x - 3 = 0

= - 2 ± 2 2 - 4 1 - 3 2 1

x = - 2 ± 4 + 12 2

x = - 2 ± 16 2

x = - 2 ± 4 2

AS raízes vão ser

x 1 = - 2 + 4 2

x 1 = 1

E

x 2 = - 2 - 4 2

x 2 = - 3

Como a > 0 , o seu gráfico será algo assim

Entre as raízes é negativo e fora é positivo.

Como queremos a parte positiva o intervalo vai ser

- ∞ , - 3 ∪ 1 , + ∞

Mas aqui, estamos no intervalo

x ≤ - 2       o u         x ≥ 2

Isso vai fazer com que só tenhamos

2 , + ∞

Passo 4

Vamos para

- x 2 + 2 x + 5 ≥ 0

Onde - 2 < x < 2

isso é uma função de segundo grau.

Vamos começar achando suas raízes

- x 2 + 2 x + 5 = 0

= - 2 ± 2 2 - 4 - 1 5 2 - 1

x = - 2 ± 4 + 20 - 2

x = - 2 ± 24 - 2

x = - 2 ± 2 6 - 2

x = 1 ∓ 6

AS raízes vão ser

x 1 = 1 - 6

E

x 2 = 1 + 6

Como a < 0 , o seu gráfico será algo assim

Entre as raízes é positivo e fora é negativo.

Como queremos a parte positiva o intervalo vai ser

1 - 6 , 1 + 6

Mas aqui, estamos no intervalo

- 2 < x < 2

E

1 - 6 ≅ - 1,44

1 + 6 ≅ 3,44

Isso vai fazer com que só tenhamos

1 - 6 , 2

Passo 5

Agora vamos juntar as duas soluções

2 , + ∞

1 - 6 , 2

Isso vai nos dar

1 - 6 , + ∞

Resposta

1 - 6 , + ∞

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