Exercícios Resolvidos de Inequações modulares

Resolva as seguintes inequações

1 - x + 3 > 2

Passo 1

Precisamos fazer os dos módulos, primeiro vamos pegar x + 3

x + 3 = x + 3 , x + 3 ≥ 0 - x + 3 , x + 3 < 0

Resolvendo aquela inequação, vamos ter

x + 3 ≥ 0

x ≥ - 3

E

x + 3 < 0

x < - 3

Resultando em

x + 3 = x + 3 , x ≥ - 3 - x - 3 , x < - 3

Assim, vamos ter

1 - x + 3 = 1 - x + 3 , x ≥ - 3 1 - - x - 3 , x < - 3

1 - x + 3 = 1 - x - 3 , x ≥ - 3 1 + x + 3 , x < - 3

1 - x + 3 = - x - 2 , x ≥ - 3 x + 4 , x < - 3

Precisamos agora, analisar cada um daqueles módulos separadamente

Primeiro, vamos ver que

- x - 2 = - 1 . x + 2 = - 1 x + 2 = x + 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos para o módulo x + 2

x + 2 = x + 2 , x + 2 ≥ 0 - x + 2 , x + 2 < 0

Resolvendo aquela inequação, vamos ter

x + 2 ≥ 0

x ≥ - 2

E

x + 2 < 0

x < - 2

Resultando em

x + 2 = x + 2 , x ≥ - 2 - x - 2 , x < - 2

Passo 3

Vamos para o módulo x + 4

x + 4 = x + 4 , x + 4 ≥ 0 - x + 4 , x + 4 < 0

Resolvendo aquela inequação, vamos ter

x + 4 ≥ 0

x ≥ - 4

E

x + 4 < 0

x < - 4

Resultando em

x + 4 = x + 4 , x ≥ - 4 - x - 4 , x < - 4

Passo 4

Vamos agora juntar todos esses módulos

1 - x + 3 = x + 2 , x ≥ - 2 - x - 2 , x < - 2 , x ≥ - 3 x + 4 , x ≥ - 4 - x - 4 , x < - 4 , x < - 3

Para organizar essa bagunça, vamos juntar os intervalos

1 - x + 3 = x + 2 , x ≥ - 3   e   x ≥ - 2 - x - 2 , x ≥ - 3   e   x < - 2 x + 4 , x < - 3   e   x ≥ - 4 - x - 4 , x < - 3   e   x < - 4

Terminando de organizar

1 - x + 3 = x + 2 , x ≥ - 2 - x - 2 , - 3 ≤ x < - 2 x + 4 , - 4 ≤ x < - 3 - x - 4 , x < - 4

Passo 5

Temos que resolver cada uma das inequações

Com x ≥ - 2

x + 2 > 2

x > 0

O resultado então vai ser

x > 0

Em forma de intervalo

0 , + ∞

Passo 6

Com - 3 ≤ x < - 2

- x - 2 > 2

- 2 - 2 > x

- 4 > x

Invertendo

x < - 4

Não temos valores menores que - 4 no intervalo. Então não temos solução para isso

Passo 7

Com - 4 ≤ x < - 3

x + 4 > 2

x > 2 - 4

x > - 2

Não temos valores maiores que - 2 no intervalo. Então não temos solução para isso

Passo 8

Com x < - 4

- x - 4 > 2

- 4 - 2 > x

- 6 > x

Invertendo

x < - 6

O resultado então vai ser

x < - 6

Em forma de intervalo

- ∞ , - 6

Passo 9

Juntando as duas soluções

0 , + ∞

- ∞ , - 6

Vai ficar

- ∞ , - 6 ∪ 0 , + ∞

Resposta

- ∞ , - 6 ∪ 0 , + ∞

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