Exercícios Resolvidos de Inequações modulares

Resolva a desigualdade x - x - 1 < x . Dê o intervalo solução e ilustre a solução sobre a reta real

Passo 1

Opa, vamos lá. Como a gente está trabalhando com módulos, a gente vai acabar precisando estabelecer intervalos. Dá uma olhada no porque:

x = x ,     s e   x ≥ 0 - x ,     s e   x < 0

x - 1 = x - 1 ,     s e   x - 1 ≥ 0 - x + 1 ,     s e   x - 1 < 0 =   x - 1 ,     s e   x ≥ 1 - x + 1 ,     s e   x < 1

Veja então que temos 4 condições pra considerar:

x ≥ 0

x < 0

x ≥ 1

x < 1

E bem, se quisermos escrever em forma de intervalos, podemos fazer assim:

x ≥ 1

0 ≤ x < 1

x < 0

Esses três intervalos de fato levam em consideração as 4 condições acima. Agora é tranquilo, só a gente tirar o módulo da jogada da forma correta, dependendo do intervalo que a gente escolher!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Intervalo x ≥ 1

Lembra que funções modulares tem duas leis de formação diferentes dependendo do intervalo? Pois bem, nesse caso aqui, vamos ter que:

x = x

x - 1 = x - 1

Agora é só substituir na inequação:

x - x - 1 < x

x - x + 1 < x

x > 1

Passo 3

Intervalo 0 ≤ x < 1

Nesse intervalo as coisas mudam um pouco, porque vamos ter:

x = x

x - 1 = - x + 1

Naaaaada tão diferente aqui galera, vamos seguir a mesma ideia, beleza? Então a inequação fica:

x - x - 1 < x

x + x - 1 < x

x < 1

Passo 4

Intervalo x < 0

Toda vez que o intervalo muda, pelo menos uma lei de formação muda né! Nesse caso, vamos ter:

x = - x

x - 1 = - x + 1

A inequação vai ficar então:

x - x - 1 < x

- x + x - 1 < x

x > - 1

Passo 5

Pra fechar com chave de ouro, vamos ver em que intervalos a inequação é verdade. Ou seja, só juntar tudo que achamos nos passos 2, 3 e 4. Saca só:

  • x > 1 no intervalo x ≥ 1 x > 1
  • x < 1 no intervalo 1 > x ≥ 0 0 ≤ x < 1
  • x > - 1 no intervalo x < 0 - 1 < x < 0

Sendo assim, o intervalo solução vai ser:

- 1   ; 1 ∪ 1   ;   ∞

Graficamente, temos:

Resposta

- 1   ; 1 ∪ 1   ;   ∞

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