Exercícios Resolvidos de Inequações modulares

Encontre todos os números reais x que satisfazem as desigualdades:

  1. 5 x - 2 ≤ 7
  2. x <   x 3

Passo 1

  1. Primeiro, vamos ajeitar essa inequação e deixar o módulo sozinho do lado esquerdo:
  2. x - 2 ≤ 7 5

    Agora, tirando o módulo, a inequação se transforma em:

    - 7 5 ≤ x - 2 ≤ 7 5

    E resolvendo:

    - 7 5 + 2 ≤ x ≤ 7 5 + 2

    3 5 ≤ x ≤ 17 5

    Logo, a solução é o conjunto 3 5 , 17 5

    Passo 2

  3. Para resolver essa inequação, podemos dividir em dois casos:
  • x = 0
  • x > 0
  • x < 0

No primeiro caso, a inequação ficaria assim:

0 <   0 3

Como essa desigualdade não é verdadeira, não há solução quando x = 0 .

No segundo caso, ficamos com

x <   x 3

1 < x 2

x > 1

Ué! Mas se é x 2 a resposta não tinha que ser - 1 < x < 1 ? Essa seria a resposta se não estivéssemos no intervalo x > 0 , em que x só assume valores positivos!

Vamos ao terceiro e último caso:

Observe que se x < 0 , então x 3 < 0 e x > 0 . Sabendo disso, você concorda que

x < x 3

é impossível de acontecer?

Sim né? É impossível! Então, para o segundo caso, não temos solução também.

Por fim, a resposta vai ser:

x > 1

Ou

( 1 ,   ∞ )

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