Exercícios Resolvidos de Inequações modulares

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Enunciado

Determine o domínio da inequação abaixo e seu conjunto-solução

9 x - 5 - 3 ≥ x - 2

Passo 1

Antes de mais nada vamos entender essa parada de domínio da inequação.

Isso são os valores que a nossa inequação vai dar ruim. Ou seja, a matemática não permite fazer conta.

Como temos uma fração isso vai acontecer quando

x - 5 - 3 = 0

Que se torna a seguinte equação

x - 5 = 3

Passo 2

Para resolver essa inequação, primeiro vamos pegar x - 5

x - 5 = x - 5 , x - 5 ≥ 0 - x - 5 , x - 5 < 0

Resolvendo aquela inequação, vamos ter

x - 5 ≥ 0

x ≥ 5

E

x - 5 < 0

x < 5

Resultando em

x - 5 = x - 5 , x ≥ 5 - x - 5 , x < 5

x - 5 = x - 5 , x ≥ 5 - x + 5 , x < 5

Assim, temos que resolver a equação para cada intervalo

Passo 3

Com x ≥ 5

x - 5 = 3

x = 8

Esse valor de x está no intervalo, então ele é uma as soluções

Passo 4

Com x < 5

- x + 5 = 3

- x = 3 - 5

- x = - 2

x = 2

Esse valor de x está no intervalo, então ele é uma as soluções

Assim, vamos ter que o domínio vai ser

D = x ∈ R x ≠ 2   e   x ≠ 8

Passo 5

Agora, vamos resolver a dita cuja inequação

9 x - 5 - 3 ≥ x - 2

Mas essa inequação tem dois módulos. Um já abrimos ali em cima. Vamos fazer o mesmo com o outro.

x - 2 = x - 2 , x - 2 ≥ 0 - x - 2 , x - 2 < 0

Resolvendo aquela inequação, vamos ter

x - 2 ≥ 0

x ≥ 2

E

x - 2 < 0

x > 2

Resultando em

x - 2 = x - 2 , x ≥ 2 - x - 2 , x < 2

E vamos ter

x - 2 = x - 2 , x ≥ 2 - x + 2 , x < 2

Passo 6

Temos então 3 intervalos para analisar

x - 5 = x - 5 , x ≥ 5 - x + 5 , x < 5

x - 2 = x - 2 , x ≥ 2 - x + 2 , x < 2

Antes do 2 , entre o 2 e o 5 e depois do 5

Vamos ver como fica a inequação

9 x - 5 - 3 ≥ x - 2 ⇒ 9 x - 5 - 3 ≥ x - 2 , x ≥ 5 9 - x + 5 - 3 ≥ x - 2 , 2 ≤ x < 5 9 - x + 5 - 3 ≥ - x + 2 , x < 2

Organizando as contas

9 x - 5 - 3 ≥ x - 2 ⇒ 9 x - 8 ≥ x - 2 , x ≥ 5 9 - x + 2 ≥ x - 2 , 2 ≤ x < 5 9 - x + 2 ≥ - x + 2 , x < 2

Vamos resolver cada uma dessas inequações e cruzar os resultados.

Passo 7

Temos x ≥ 5

9 x - 8 ≥ x - 2

Não podemos multiplicar cruzado, devemos passar tudo para a esquerda

9 x - 8 - x + 2 ≥ 0

9 + - x + 2 x - 8 x - 8 ≥ 0

9 - x 2 + 8 x + 2 x - 16 x - 8 ≥ 0

- x 2 + 10 x - 7 x - 8 ≥ 0

Temos que analisar o sinal do numerador e do denominador para colocar no quadro de sinais.

Primeiro o x - 8

Ele vai ter raiz em

x - 8 = 0

x = 8

E o seu gráfico é algo assim

Então antes do 8 ela é negativa e depois é positiva

Passo 8

Vamos agora para o - x 2 + 10 x - 7 , isso é uma função de segundo grau.

Vamos começar achando suas raízes

- x 2 + 10 x - 7 = 0

x = - 10 ± 10 2 - 4 - 7 - 1 2 - 1

x = - 10 ± 100 - 28 - 2

x = - 10 ± 72 - 2

x = - 10 ± 6 2 - 2

AS raízes vão ser

x 1 = - 10 + 6 2 - 2

x 1 = 5 - 3 2

E

x 2 = - 10 - 6 2 - 2

x 2 = 5 + 3 2

Como a < 0 , o seu gráfico será algo assim

Entre as raízes é positivo e fora é negativo.

Passo 9

- x 2 + 10 x - 7 x - 8 ≥ 0

Vamos ao quadro de sinais

Ele quer a parte positiva, então devemos pegar

- ∞ , 5 - 3 2 ∪ 8 ; 5 + 3 2

Lembrando que no 8 é aberto porque ele está fora do domínio.

Só tem um detalhe importante, estamos trabalhando no intervalo onde x ≥ 5

Então, aquele primeiro intervalo não vai entrar, já que 5 - 3 2 é menor que 5 .

Então a solução vai ser

8 ; 5 + 3 2

Passo 10

Temos 2 ≤ x < 5

9 - x + 2 ≥ x - 2

Não podemos multiplicar cruzado, devemos passar tudo para a esquerda

9 - x + 2 - x + 2 ≥ 0

9 + - x + 2 - x + 2 - x + 2 ≥ 0

9 + x 2 - 2 x - 2 x + 4 - x + 2 ≥ 0

x 2 - 4 x + 13 - x + 2 ≥ 0

Temos que analisar o sinal do numerador e do denominador para colocar no quadro de sinais.

Primeiro o - x + 2

Ele vai ter raiz em

- x + 2 = 0

x = 2

E o seu gráfico é algo assim

Então antes do 2 ela é positiva e depois é negativa

Passo 11

Vamos agora para o x 2 - 4 x + 13 , isso é uma função de segundo grau.

Vamos começar achando suas raízes

x 2 - 4 x + 13 = 0

x = - - 4 ± - 4 2 - 4 13 1 2 1

x = 4 ± 16 - 52 2

x = 4 ± - 36 2

Opa, ele não vai ter raiz real. E como o a > 0 , essa função e sempre positiva. Então só quem vai determinar o sinal é o denominador.

Ele quer a parte positiva, então devemos pegar

- ∞ , 2

Lembrando que no 2 é aberto porque ele está fora do domínio.

Só tem um detalhe importante, estamos trabalhando no intervalo onde 2 ≤ x < 5

Então não teremos solução nessa parte.

Passo 12

Temos x < 2

9 - x + 2 ≥ - x + 2

Não podemos multiplicar cruzado, devemos passar tudo para a esquerda

9 - x + 2 + x - 2 ≥ 0

9 + - x + 2 x - 2 - x + 2 ≥ 0

9 - x 2 + 2 x + 2 x - 4 - x + 2 ≥ 0

- x 2 + 4 x + 5 - x + 2 ≥ 0

Temos que analisar o sinal do numerador e do denominador para colocar no quadro de sinais.

Primeiro o - x + 2

Ele vai ter raiz em

- x + 2 = 0

x = 2

E o seu gráfico é algo assim

Então antes do 2 ela é positiva e depois é negativa

Passo 13

Vamos agora para o - x 2 + 4 x + 5 , isso é uma função de segundo grau.

Vamos começar achando suas raízes

- x 2 + 4 x + 5 = 0

x = - 4 ± 4 2 - 4 - 1 5 2 - 1

x = - 4 ± 16 + 20 - 2

x = - 4 ± 36 - 2

AS raízes vão ser

x 1 = - 4 + 6 - 2

x 1 = - 1

E

x 2 = - 4 - 6 - 2

x 2 = 5

Como a < 0 , o seu gráfico será algo assim

Entre as raízes é positivo e fora é negativo.

Passo 14

- x 2 + 10 x - 7 x - 8 ≥ 0

Vamos ao quadro de sinais

Ele quer a parte positiva, então devemos pegar

- 1,2 ∪ 5 , + ∞

Lembrando que no 2 é aberto porque ele está fora do domínio.

Só tem um detalhe importante, estamos trabalhando no intervalo onde x < 2

Então, aquele segundo intervalo não vai entrar

- 1,2

Passo 15

Ufa, terminamos as inequações.

Vamos juntar tudo agora

8 ; 5 + 3 2

- 1,2

Para juntar basta colocarmos um união

- 1,2 ∪ 8 ; 5 + 3 2

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