Exercícios Resolvidos de Inequações modulares

Resolva em R as seguintes inequações

x - 1 + x - 2 > 1

Passo 1

Precisamos fazer os dos módulos e ver como será a expressão, primeiro vamos pegar x - 1

x - 1 = x - 1 , x - 1 ≥ 0 - x - 1 , x - 1 < 0

Resolvendo aquela inequação, vamos ter

x - 1 ≥ 0

x ≥ 1

E

x - 1 < 0

x < 1

Resultando em

x - 1 = x - 1 , x ≥ 1 - x - 1 , x < 1

x - 1 = x - 1 , x ≥ 1 - x + 1 , x < 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos para o segundo módulo x - 2

x - 2 = x - 2 , x - 2 ≥ 0 - x - 2 , x - 2 < 0

Resolvendo aquela inequação, vamos ter

x - 2 ≥ 0

x ≥ 2

E

x - 2 < 0

x > 2

Resultando em

x - 2 = x - 2 , x ≥ 2 - x - 2 , x < 2

E vamos ter

x - 2 = x - 2 , x ≥ 2 - x + 2 , x < 2

Passo 3

Vamos agora juntar todos esses módulos

Temos que olhar os intervalos primeiro, para entendermos como vai ficar

x ≥ 1 x < 1       e       x ≥ 2 x < 2

Então, no fundo temos

Fazendo a soma, vamos ter

x - 1 + x - 2 = x - 1 + x - 2 , x ≥ 2 x - 1 + - x + 2 , - 1 ≤ x < 2 - x + 1 + - x + 2 , x < - 1

Vai ficar

x - 1 + x - 2 = 2 x - 3 , x ≥ 2 x - 1 - x + 2 , - 1 ≤ x < 2 - x + 1 - x + 2 , x < - 1

x - 1 + x - 2 = 2 x - 3 , x ≥ 2 1 , - 1 ≤ x < 2 - 2 x + 3 , x < - 1

Vamos ter 3 inequações para resolver em cada intervalo.

Passo 4

Com x ≥ 2

2 x - 3 > 1

2 x > 4

x > 2

Juntando isso com o intervalo que estamos, a solução aqui vai ser

x > 2

Em forma de intervalo vai ser

2 , + ∞

Passo 5

Com 1 ≤ x < 2

1 > 1

O que não é possível, então não temos nenhuma solução aqui

Passo 6

Com x < 2

- 2 x + 3 > 1

3 - 1 > 2 x

2 > 2 x

1 > x

Escrevendo ao contrário

x < 1

Juntando isso com o intervalo que estamos, a solução aqui vai ser

x < 1

Em forma de intervalo vai ser

- ∞ , 1

Passo 7

Juntando os intervalos, vamos ter

2 , + ∞

- ∞ , 1

- ∞ , 1 ∪ 2 , + ∞

Resposta

- ∞ , 1 ∪ 2 , + ∞

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