Exercícios Resolvidos de Inequações modulares

Resolva em R as seguintes inequações

g) x - 1 + x + 1 ≤ 2

h) x - 1 + x + 1 < 2

Passo 1

Precisamos fazer os dos módulos e ver como será a expressão, primeiro vamos pegar x - 1

x - 1 = x - 1 , x - 1 ≥ 0 - x - 1 , x - 1 < 0

Resolvendo aquela inequação, vamos ter

x - 1 ≥ 0

x ≥ 1

E

x - 1 < 0

x < 1

Resultando em

x - 1 = x - 1 , x ≥ 1 - x - 1 , x < 1

x - 1 = x - 1 , x ≥ 1 - x + 1 , x < 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos para o segundo módulo x + 1

x + 1 = x + 1 , x - 1 ≥ 0 - x + 1 , x - 1 < 0

Resolvendo aquela inequação, vamos ter

x + 1 ≥ 0

x ≥ - 1

E

x + 1 < 0

x < - 1

Resultando em

x + 1 = x + 1 , x ≥ - 1 - x + 1 , x < - 1

x + 1 = x + 1 , x ≥ - 1 - x - 1 , x < - 1

Passo 3

Vamos agora juntar todos esses módulos

Temos que olhar os intervalos primeiro, para entendermos como vai ficar

x ≥ 1 x < 1       e       x ≥ - 1 x < - 1

Então, no fundo temos

Fazendo a soma, vamos ter

x - 1 + x + 1 = x - 1 + x + 1 , x ≥ 1 - x + 1 + x + 1 , - 1 ≤ x < 1 - x + 1 + - x - 1 , x < - 1

Vai ficar

x - 1 + x + 1 = 2 x , x ≥ 1 2 , - 1 ≤ x < 1 - 2 x , x < - 1

Vamos ter 3 inequações para resolver em cada intervalo.

x - 1 + x + 1 ≤ 2

Passo 4

Com x ≥ 1

2 x ≤ 2

x ≤ 1

Juntando isso com o intervalo, vamos ter apenas o 1

x = 1

Passo 5

Com - 1 ≤ x < 1

2 ≤ 2

Isso vai ser verdadeiro para todo o intervalo, então a solução vai ser o próprio intervalo

- 1 ≤ x < 1

Em forma de intervalo

- 1,1

Passo 6

Com x < - 1

- 2 x ≤ 2

- 2 ≥ 2 x

- 1 ≥ x

Escrevendo ao contrário

x ≥ - 1

Juntando isso com o intervalo, não vamos ter nenhuma solução possível.

Passo 7

Juntando os intervalos, vamos ter

x = 1

- 1,1

Isso vai ser

- 1,1

Passo 8

Vamos agora para a outra inequação

x - 1 + x + 1 < 2

Com x ≥ 1

2 x < 2

x < 1

Juntando isso com o intervalo, não vamos ter solução

Passo 9

Com - 1 ≤ x < 1

2 < 2

Isso vai ser falso para todo o intervalo, não vamos ter solução

Passo 10

Com x < - 1

- 2 x ≤ 2

- 2 ≥ 2 x

- 1 ≥ x

Escrevendo ao contrário

x ≥ - 1

Juntando isso com o intervalo, não vamos ter nenhuma solução possível.

Então a segunda inequação não tem nenhum solução possivel

Resposta

Letra g

- 1,1

Letra h

S = ∅

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