Exercícios Resolvidos de Inequações modulares

Em cada caso abaixo, expresse a(s) condição(ões) dadas em termos de equações ou inequações envolvendo valores absolutos e determine os respectivos conjuntos solução.

A diferença entre x e 1 não supera 3 e x está mais perto de 6 do que de - 8 .

Passo 1

A ideia de distância entre números reais é a nossa ideia de módulo.

Então a distância de x à 1 vai ser

x - 1

Enquanto a distância de x à 6 vai ser

x - 6

Enquanto a distância de x à - 8 vai ser

x - - 8

x + 8

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ele disse que A diferença entre x e 1 não supera 3 e x está mais perto de 6 do que de - 8 .

.

Isso quer dizer que .

x - 1 < 3

E

x - 6 < x + 8

Essas vão ser as nossas inequações.

Passo 3

Vamos começar com a inequação

x - 1 < 3

Aqui, temos uma inequação modular com “menor que”, então podemos transformá-la em uma única inequação

x - 1 < 3

- 3 < x - 1 < 3

Podemos resolver essa inequação de forma simultânea

Somando 1 a toda inequação

- 3 + 1 < x < 3 + 1

- 2 < x < 4

Em formato de intervalo

- 2,4

Passo 4

Agora vamos para a outra inequação

x - 6 < x + 8

Precisamos fazer os dos módulos e ver como será a expressão, primeiro vamos pegar módulo x + 8

x + 8 = x + 8 , x + 8 ≥ 0 - x + 8 , x + 8 < 0

Resolvendo aquela inequação, vamos ter

x + 8 ≥ 0

x ≥ - 8

E

x + 8 < 0

x < - 8

Resultando em

x + 8 = x + 8 , x ≥ - 8 - x - 8 , x < - 8

Passo 5

Vamos para o módulo x - 6

x - 6 = x - 6 , x - 6 ≥ 0 - x - 6 , x - 6 < 0

Resolvendo aquela inequação, vamos ter

x - 6 ≥ 0

x ≥ 6

E

x - 6 < 0

x > 6

Resultando em

x - 6 = x - 6 , x ≥ 6 - x - 6 , x < 6

E vamos ter

x - 6 = x - 6 , x ≥ 6 - x + 6 , x < 6

Passo 6

Então, no fundo temos três intervalos para a inequação

x - 6 < | x + 8 | ⇒ x - 6 < x + 8 , x ≥ 6 - x + 6 < x + 8 , - 8 ≤ x < 6 - x + 6 < - x - 8 , x < - 8

Vamos ter 3 casos para resolver

Passo 7

Com x ≥ 6

x - 6 < x + 8

- 6 < 8

Mas isso é verdade sempre, então a nossa solução aqui é o próprio intervalo

x ≥ 6

Em forma de intervalo

6 , + ∞

Passo 8

Com - 8 ≤ x < 6

- x + 6 < x + 8

6 - 8 < x + x

- 2 < 2 x

- 1 < x

Invertendo

x > - 1

Juntando isso com o nosso intervalo, vamos ter

- 1 < x < 6

Em forma de intervalo

- 1,6

Passo 9

Com x < - 8

- x + 6 < - x - 8

6 < - 8

Mas isso é falso sempre, então não temos solução aqui

Passo 10

Juntando tudo, vamos ter

6 , + ∞

- 1,6

Então a resposta será

- 1 , + ∞

Passo 11

Achamos a solução das duas inequações, a primeira vai ser

- 2,4

A segunda vai ser

- 1 , + ∞

Como queremos o intervalo que ambas são verdadeiras, temos que pegar de - 1 até 4

- 1,4

Resposta

- 1,4

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas