Exercícios Resolvidos de Inequações modulares

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Enunciado

Resolva para x .

1 x - 2 ≤ 5 2 x - 1

Passo 1

Primeiro vamos tirar o módulo de 5 2 x - 1 . Seu sinal depende apenas de 2 x - 1 .

2 x - 1 = 0 → x = 1 2

5 2 x - 1 < 0   q u a n d o   x < 1 2

5 2 x - 1 > 0   q u a n d o   x > 1 2

Então, para x < 1 2 :

5 2 x - 1 = - 5 2 x - 1

Para x > 1 2 :

5 2 x - 1 = 5 2 x - 1

Passo 2

Agora vamos fazer tudo de novo só que tirando o módulo de 1 x - 2 .

x - 2 = 0 → x = 2

1 x - 2 < 0   q u a n d o   x < 2

1 x - 2 > 0   q u a n d o   x > 2

Então, para x < 2 :

1 x - 2 = - 1 x - 2

Para x > 2 :

1 x - 2 = 1 x - 2

Passo 3

Veja então que com os dois primeiros passos, encontramos três momentos:

  1. x < 1 2
  2. 1 2 < x < 2
  3. 2 < x

Para cada um dos momentos, podemos substituir o módulo que queremos resolver:

1 x - 2 ≤ 5 2 x - 1

Pelos seus respectivos valores:

  1. Para x < 1 2 (que é ao mesmo tempo menor que 2):
  2. - 1 x - 2 ≤ - 5 2 x - 1

  3. Para 1 2 < x < 2 ...
  4. - 1 x - 2 ≤ 5 2 x - 1

  5. Para x > 2 (que é ao mesmo tempo maior que meio)...

1 x - 2 ≤ 5 2 x - 1

Vamos estudar a inequação de cada caso separado então. Bora lá?

Passo 4

Bem, para x < 1 2 ...

- 1 x - 2 ≤ - 5 2 x - 1

- 1 x - 2 + 5 2 x - 1 ≤ 0

- 2 x - 1 + 5 ( x - 2 ) ( x - 2 ) ( 2 x - 1 ) ≤ 0

3 x - 9 ( x - 2 ) ( 2 x - 1 ) ≤ 0       m u l t i p l i c a n d o   t u d o   p o r - 1

- 3 x + 9 ( x - 2 ) ( 2 x - 1 ) ≥ 0

Analisando o sinal dessa inequação obtemos o seguinte quadrinho:

Logo, a inequação...

- 3 x + 9 ( x - 2 ) ( 2 x - 1 ) ≥ 0

É satisfeita quando

x < 1 2   o u   2 <   x ≤ 3  

Porém, assumimos de início que x < 1 2 , então o único intervalo que satisfaz é o próprio

x < 1 2     →         x ∈ - ∞ , 1 2

Passo 5

Para 1 2 < x < 2 agora:

1 x - 2 ≤ 5 2 x - 1                 →                 - 1 x - 2 ≤ 5 2 x - 1

- 1 x - 2 - 5 2 x - 1 ≤ 0

- 5 x - 2 - ( 2 x - 1 ) ( 2 x - 1 ) ( x - 2 ) ≤ 0

- 5 x + 10 - 2 x + 1 ( 2 x - 1 ) ( x - 2 ) ≤ 0

- 7 x + 11 ( 2 x - 1 ) ( x - 2 ) ≤ 0 →       m u l t i p l i c a n d o   t u d o   p o r - 1

7 x - 11 ( 2 x - 1 ) ( x - 2 ) ≥ 0

Fazendo a análise de sinais:

Então

7 x - 11 ( 2 x - 1 ) ( x - 2 ) ≥ 0

Veja que a equação é positiva em 2 intervalos:

1 2 < x ≤ 11 7         e             x > 2

Porém, assumimos para a construção da inequação (início do passo 3) que x < 2 . Portanto, o único intervalo que satisfaz a inequação é

1 2 < x ≤ 11 7           o u             x ∈ 1 2 , 11 7

Passo 6

Por último, vamos analisar quando x > 2 :

1 x - 2 ≤ 5 2 x - 1

1 x - 2 - 5 2 x - 1 ≤ 0

- 3 x + 9 ( 2 x - 1 ) ( x - 2 ) ≤ 0    

Esse é a inequação que resolvemos no Passo 4. Olhando o quadrinho que fizemos nesse passo

Conseguimos ver que a expressão

- 3 x + 9 ( 2 x - 1 ) ( x - 2 ) ≤ 0

É verdadeira quando...

1 2 < x < 2     o u     x ≥ 3

Como assumimos que x deve ser maior que 2 , o único intervalo que atende é...

x ≥ 3       →               x ∈ [ 3 , + ∞ )

Passo 7

Com os três intervalos juntos das respostas dos passos 4, 5 e 6, temos a resposta da inequação pedida:

1 x - 2 ≤ 5 2 x - 1

x ∈ - ∞ , 1 2 ⋃ 1 2 , 11 7 ⋃ [ 3 , + ∞ )

Resposta

x ∈ - ∞ , 1 2 ⋃ 1 2 , 11 7 ⋃ [ 3 , + ∞ )

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