Exercícios Resolvidos de Inequações modulares

Elaboração Própria

Determine a solução na inequação abaixo

x + 3 x - 2 2 x + 2

Passo 1

De novo caímos naquela situação de inequações modulares com dois módulos, podemos resolver daquela forma que fizemos nos exercícios anteriores, mas é mais fácil dar uma manipulada nisso e transformar em um módulo só. Diferente do outro exercício que é mais tranquilo fazer da forma tradicional.

Vamos começar arrumando isso do lado direito,

x + 3 x - 2 2 x + 2

Vamos passar aquele módulo de x + 2 para a esquerda multiplicando, mas lembrando que ele nunca pode ser 0 , assim já temos que excluir da nossa solução o x = - 2 , mais tarde vamos relembrar desse detalhe que vai ser importante.

Passando ele para o outro lado vamos ter

x + 3 x + 2 x - 2 2

Arrumando isso

x 2 + 5 x + 6 x - 2 2

E passamos a ter um único módulo. Aqui temos a inequação modular menor ou igual, assim temos que achar a interseção das soluções das inequações abaixo

x 2 + 5 x + 6 x - 2 2 e - 2 x 2 + 5 x + 6 x - 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar resolvendo a primeira

x 2 + 5 x + 6 x - 2 2

Passando o 2 para esquerda

x 2 + 5 x + 6 x - 2 - 2 0

Temos que juntar essa parada toda

x 2 + 5 x + 6 - 2 x + 4 x - 2 0

x 2 + 3 x + 10 x - 2 0

Precisamos analisar o sinal das duas funções, tanto no numerado como no denominador.

A do denominador é de boa, vamos ter ela positiva depois de x = 2 e negativa antes.

A função de segundo grau precisamos do gráfico para isso, e para o gráfico precisamos das raízes

x = - 3 ± 9 - 40 2 = - 3 ± - 31 2

Isso nos diz que essa função não tem raízes, o seu gráfico vai ficar

Podemos ver que ele sempre vai ser positivo. Vamos fazer o quadro de sinais.

Queremos essa fração sendo negativa, então vamos pegar a parte menor que 2

x < 2

Repara que a expressão tem menor ou igual, e aqui eu só coloquei menor. Isso porque o 2 é raiz do denominador, e ele não pode ser 0 , então precisamos excluir o 2

Passo 3

Vamos para a segunda inequação

- 2 x 2 + 5 x + 6 x - 2

Passando o - 2 para direita

0 x 2 + 5 x + 6 x - 2 + 2

Temos que juntar essa parada toda, e vamos escrever com o sinal ao contrario da desigualdade

x 2 + 5 x + 6 + 2 x - 4 x - 2 0

x 2 + 7 x + 2 x - 2 0

Precisamos analisar o sinal das duas funções, tanto no numerado como no denominador.

A do denominador é de boa, vamos ter ela positiva depois de x = 2 e negativa antes.

A função de segundo grau precisamos do gráfico para isso, e para o gráfico precisamos das raízes

x = - 7 ± 49 - 8 2 = - 7 ± 41 2

Isso nos diz que essa função tem duas raízes,

x 1 = - 7 + 41 2

E

x 2 = - 7 - 41 2

O seu gráfico vai ficar

Podemos ver que entre as raízes ele vai ser negativo, e na outra parte vai ser positivo. Vamos fazer o quadro de sinais.

Queremos essa fração sendo positiva, então vamos pegar

- 7 - 41 2 x - 7 + 41 2 o u x > 2

Aqui de novo temos que excluir o 2 , pelo mesmo motivo de antes, ele é raiz do denominador

Passo 4

Agora temos a solução de cada uma dessas inequações, a parada é achar a interseção dessas duas soluções

x < 2 e - 7 - 41 2 x - 7 + 41 2 o u x > 2

Assim, a nossa solução vai ser entre aqueles cara bonitinhos,

- 7 - 41 2 x - 7 + 41 2

Resposta

- 7 - 41 2 x - 7 + 41 2

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