Exercícios Resolvidos de Inequações modulares

UFF, Cálculo IA-Lista 1, GMA, 2008-1, 20

Resolva para x e represente a solução na reta numérica

x 2 - 5 x < x 2 - 5 x

Passo 1

Usando a definição de módulo para a função dentro do primeiro módulo:

x 2 - 5 x = - x 2 - 5 x 0 x 5 x 2 - 5 x x < 0   e   x > 5

Para os demais:

x = x x 0 - x x < 0

E:

5 x = 5 x x 0 - 5 x x < 0

Juntamos os intervalos, obtemos três intervalos onde as funções mudam:

x < 0

0 < x < 5

x > 5

Vamos testar para cada um deles.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para x < 0 :

x 2 - 5 x = x 2 - 5 x

x = - x

5 x = - 5 x

Assim, temos:

x 2 - 5 x < - x 2 - - 5 x

x 2 - 5 x < x 2 + 5 x

Ou seja:

- 5 x < 5 x 0 < 10 x x > 0

Como encontramos que a solução deve ser x > 0 dentro do intervalo x < 0 , não teremos solução nesse caso.

Passo 3

Para 0 < x < 5 :

x 2 - 5 x = - ( x 2 - 5 x )

x = x

5 x = 5 x

Assim, temos:

- ( x 2 - 5 x ) < x 2 - 5 x

x 2 - 5 x > 5 x - x 2

Ou seja:

2 x 2 - 10 x > 0

x 2 - 5 x > 0

Que será maior que zero para x < 0 e x > 5 .

Como encontramos que a solução deve ser x < 0 ou x > 5 dentro do intervalo 0 < x < 5 , não teremos solução nesse caso.

Passo 4

Para x > 5 :

x 2 - 5 x = x 2 - 5 x

x = x

5 x = 5 x

Assim, temos:

x 2 - 5 x < x 2 - 5 x

0 < 0

Que não é verdade para nenhum valor de x , ou seja, x > 5 não satisfaz a inequação. Portanto, não teremos solução para a nossa inequação x 2 - 5 x < x 2 - 5 x . Representaremos o conjunto solução como o conjunto vazio:

S =

Resposta

S =

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