Passo 1

Vamos lá! Para determinar se essa família é solução, precisamos encontrar primeiro as derivadas.

y = C 1 + e x C 2 cos ⁡ x + C 3 sen ⁡ x + sen ⁡ x

Derivando

y ' = e x C 2 cos ⁡ x + C 3 sen ⁡ x + e x - C 2 sen ⁡ x + C 3 cos ⁡ x + cos ⁡ x

Novamente

y ' ' = e x C 2 cos ⁡ x + C 3 sen ⁡ x + e x - C 2 sen ⁡ x + C 3 cos ⁡ x + e x - C 2 sen ⁡ x + C 3 cos ⁡ x + e x - C 2 cos ⁡ x - C 3 sen ⁡ x - sen ⁡ x

y ' ' = 2 e x - C 2 sen ⁡ x + C 3 cos ⁡ x - sen ⁡ x

E de novo

y ' ' ' = 2 e x - C 2 sen ⁡ x + C 3 cos ⁡ x + 2 e x - C 2 cos ⁡ x - C 3 sen ⁡ x - cos ⁡ x

Passo 2

Agora vamos substituir as derivadas na EDO e observar se realmente esta é a solução.

y ' ' ' - 2 y ' ' + 2 y ' = cos ⁡ x + 2 sen ⁡ x

Substituindo

2 e x - C 2 sen ⁡ x + C 3 cos ⁡ x + 2 e x - C 2 cos ⁡ x - C 3 sen ⁡ x - cos ⁡ x - 2 2 e x - C 2 sen ⁡ x + C 3 cos ⁡ x - sen ⁡ x + 2 e x C 2 cos ⁡ x + C 3 sen ⁡ x + e x - C 2 sen ⁡ x + C 3 cos ⁡ x + cos ⁡ x = cos ⁡ x + 2 sen ⁡ x

Manipulando um pouco ficamos com

2 e x - C 2 sen ⁡ x + C 3 cos ⁡ x + 2 e x - C 2 cos ⁡ x - C 3 sen ⁡ x - cos ⁡ x - 4 e x - C 2 sen ⁡ x + C 3 cos ⁡ x + 2 sen ⁡ x + 2 e x C 2 cos ⁡ x + C 3 sen ⁡ x + 2 e x - C 2 sen ⁡ x + C 3 cos ⁡ x + 2 cos ⁡ x = cos ⁡ x + 2 sen ⁡ x

Chegamos à conclusão que

0 = 0

Ou seja, essa familia é de fato uma solução da nossa EDO.

Passo 3

Para encontrar a solução única, precisamos determinar as constantes C 1 , C 2   e   C 3 aplicando as condições iniciais do problema.

y 0 = 3

y = C 1 + e x C 2 cos ⁡ x + C 3 sen ⁡ x + sen ⁡ x

y 0 = C 1 + e 0 C 2 cos ⁡ 0 + C 3 sen ⁡ 0 + sen ⁡ 0 = 3

C 1 + C 2 = 3

Da segunda condição inicial

y ' 0 = 6

y ' = e x C 2 cos ⁡ x + C 3 sen ⁡ x + e x - C 2 sen ⁡ x + C 3 cos ⁡ x + cos ⁡ x

y ' 0 = e 0 C 2 cos ⁡ 0 + C 3 sen ⁡ 0 + e 0 - C 2 sen ⁡ 0 + C 3 cos ⁡ 0 + cos ⁡ 0 = 6

C 2 + C 3 + 1 = 6

E

y ' ' 0 = 6

y ' ' = 2 e x - C 2 sen ⁡ x + C 3 cos ⁡ x - sen ⁡ x

y ' ' 0 = 2 e 0 - C 2 sen ⁡ 0 + C 3 cos ⁡ 0 - sen ⁡ 0 = 6

2 C 3 = 6

C 3 = 3

Então

C 2 = 2

C 1 = 1

Então a única solução é:

y = 1 + e x 2 cos ⁡ x + 3 sen ⁡ x + sen ⁡ x

Resposta

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