Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e c 2 são constantes).

(k) y = 2 x y ' + y y ' 2 ; y 2 = c 1 x + 1 4 c 1 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Temos algo bastante interessante nessa questão! Foi dada uma equação e um valor para y 2 .

No caso, essa equação é uma EDO e y é a suposta solução dessa EDO.

O que temos que fazer é verificar se essa solução satisfaz a EDO ou não.

Tem ideia de como podemos fazer isso?? 👀

Podemos usar uma abordagem mais direta, podemos obter as derivadas necessárias de y para assim substituir na EDO.

Com isso, verificamos a igualdade da equação, se for satisfeita, a solução é verídica, se não for, y não é solução para essa EDO.

Entendeu? Bora aplicar essa ideia! 😁

Passo 2

Primeiro vamos analisar a EDO y = 2 x y ' + y y ' 2 .

Vemos que a maior derivada é de ordem 1 , logo temos que derivar a solução y apenas uma vez antes de substituir na equação.

Vamos manipular a solução dada no enunciado pra obter y

y 2 = c 1 x + 1 4 c 1

y 2 = c 1 x + 1 4 c 1 2

Tirando a raiz dos dois lados para eliminar a potência de y 2

y = c 1 x + 1 4 c 1 2

Agora podemos partir para a derivada!

d y d x = d c 1 x + 1 4 c 1 2 d x

Como y é uma função composta, vamos aplicar a regra da cadeia, lembra? (a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora, substituindo a função de dentro por uma variável na derivada de fora)

d y d x = d c 1 x + 1 4 c 1 2 d x · d u d u

Pelo método de derivação polinomial, temos

d y d x = c 1 x 1 - 1 + 0 1 4 c 1 2 · 1 2 u 1 2 - 1

d y d x = c 1 + 1 2 u

Substituindo u pela função de dentro de volta

d y d x = c 1 + 1 2 c 1 x + 1 4 c 1 2

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora que já obtemos a derivada de y , vamos substitui-la na EDO junto com y

y = 2 x y ' + y y ' 2

c 1 x + 1 4 c 1 2 = 2 x c 1 + 1 2 c 1 x + 1 4 c 1 2 + c 1 x + 1 4 c 1 2 c 1 + 1 2 c 1 x + 1 4 c 1 2 2

Enorme, não é? Mas relaxa, vamos com calma!

Simplificando o 2 do primeiro termo do lado direito da equação, temos

c 1 x + 1 4 c 1 2 = 2 x c 1 + x c 1 x + 1 4 c 1 2 + c 1 x + 1 4 c 1 2 c 1 + 1 2 c 1 x + 1 4 c 1 2 2

Resolvendo a potência do último termo

c 1 x + 1 4 c 1 2 = 2 x c 1 + x c 1 x + 1 4 c 1 2 + c 1 x + 1 4 c 1 2 c 1 2 + c 1 c 1 x + 1 4 c 1 2 + 1 4 c 1 x + 1 4 c 1 2

Ta ficando muito grande isso aqui, não é? Vamos substituir c 1 x + 1 4 c 1 2 por u pra facilitar nas nossas manipulações

u = 2 x c 1 + x u + u c 1 2 + c 1 u + 1 4 u

Calculando a distributiva de u

u = 2 x c 1 + x u + c 1 2 u + c 1 u u + 1 u 4 u

Sabemos que a a = 1 a , logo simplificando a equação

u = 2 x c 1 + x u + c 1 2 u + c 1 u u + 1 4 u

Está acompanhando? 🤔

Passo 4

Vamos deixar tudo no mesmo denominador, veja só

u = 2 x c 1 u u + x u + c 1 2 u u u + c 1 u u + 1 / 4 u

u = 2 x c 1 u u + x u + c 1 2 u u + c 1 u u + 1 / 4 u

Dessa forma, temos

u = 2 x c 1 u + x + c 1 2 u + c 1 u + 1 4 u

Voltando u para c 1 x + 1 4 c 1 2

c 1 x + 1 4 c 1 2 = 2 x c 1 c 1 x + 1 4 c 1 2 + x + c 1 2 c 1 x + 1 4 c 1 2 + c 1 c 1 x + 1 4 c 1 2 + 1 4 c 1 x + 1 4 c 1 2

Colocando c 1 x + 1 4 c 1 2 em evidência, temos

c 1 x + 1 4 c 1 2 = 2 x c 1 + c 1 c 1 x + 1 4 c 1 2 + x + c 1 2 c 1 x + 1 4 c 1 2 + 1 4 c 1 x + 1 4 c 1 2

Não conseguimos fazer com que a igualdade fosse satisfeita, ou seja, nossa suposta solução não é solução da nossa EDO!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

Não é solução da EDO.

Exercícios de Livros Relacionados

Os psicólogos interessados em teoria do aprendizado estudam as curvas do aprendizado. Uma curva de aprendizado é o gráfico de uma função P ( t ) , o desempenho de alguém aprendendo uma habilidade como
Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial dada. Obtenha uma impressão e esboce uma curva solução que passe por (0, 1). Use o SCA para desenha
Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial dada. Obtenha uma impressão e esboce uma curva solução que passe por (0, 1). Use o SCA para desenha
Use o campo de direções I para esboçoar os gráficos das soluções que satisfazem as condições iniciais dadas.a) y 0 = 1 b) y 0 = 0 c) y 0 = - 1
Nos Exercícios 5 e 6, copie os campos de direção e esboce algumas das curvas integrais. y ' = y y + 1 y - 1