Determine a ordem das equações a seguir. Classifique-as em lineares ou não lineares e especifique se cada equação linear é ou não homogênea.

( b ) ∂ x u + u 3 = 1 ;

Passo 1

Oiie, tudo bem com você?

O enunciado pede para classificarmos as equações diferenciais parciais apresentadas nas alternativas. Neste caso temos a seguinte equação diferencial

∂ x u + u 3 = 1

elas podem ser classificadas pela sua ordem, determinada pelo maior grau da derivada, ou seja, se a maior derivada é da forma ∂ n temos uma equação de grau n . A linearidade da equação diferencial pode ser analisada tendo em vista o seguinte formato

A ( x , y ) u x x + B ( x , y ) u x y + C ( x , y ) u y y + G ( x , y , u , u x , u y ) = 0

esse é o exemplo de uma equação diferencial parcial de segunda ordem quasi-linear, note que não há funções das derivadas segundas da função u ( x , y ) . Ela será linear se não houverem sequer funções compostas com a função u ( x , y ) , por exemplo

A ( x , y ) u x x + B ( x , y ) u x y + C ( x , y ) u y y + D ( x , y ) u x + E ( x , y ) u y + F ( x , y ) u + G ( x , y ) = 0

e por último, temos que a homogeneidade da equação diferencial é determinada observando se G ( x , y ) = 0 (equação homogênea) ou G ( x , y ) ≠ 0 (equação não-homogênea). Uff… Com tudo isso relembrado, acho que conseguimos classificar a nossa equação! Bora lá!

Passo 2

Temos a seguinte equação diferencial

∂ x u + u 3 = 1

a maior derivada é de grau 1 portanto a equação é de primeira ordem, nós temos uma função de u ( x , y ) , em particular u 3 , portanto, a equação diferencial é não-linear, ou quasi-linear já que não há funções das segundas derivadas (já que elas não existem!). E, note também que há uma função G ( x , y ) = 1 que não acompanhe u ( x , y ) ou suas derivadas, portanto, a equação é não-homogênea! Maravilha! A primeira alternativa foi isso! Até a próxima!

Resposta

Equação de primeira ordem, quasi-linear e não-homogênea.

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