Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e c 2 são constantes).

(h) 2 x y d x + x 2 + 2 y d y = 0 ;   x 2 y + y 2 = c 1 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão, temos apenas uma EDO e uma possível solução para essa EDO.

O nosso objetivo é verificar se a solução dada é realmente solução da EDO ou não.

E aí! Como podemos verificar isso?? 🤔🤔

Primeiro de tudo, qual é nossa EDO?

Nossa EDO é dada por 2 x y d x + x 2 + 2 y d y = 0 . Não parece muito uma EDO, não é? Temos que organizar um pouquinho essa equação.

Passando 2 x y d x para o outro lado, temos

x 2 + 2 y d y = - 2 x y d x

Dividindo os dois lados por d x

x 2 + 2 y d y d x = - 2 x y

Agora dividindo os dois lados por x 2 + 2 y

d y d x = - 2 x y x 2 + 2 y

Agora parece mais com uma EDO, não é?

Bora começar! 😁😁

Passo 2

Olhando para a solução dada, vemos que não podemos isolar y , ou seja x 2 y + y 2 = c 1

Logo, temos que derivar essa equação pela forma implícita, lembra dela?

d x d y = - F y F x

No caso, como queremos d y d x temos que obter - F x F y pelo método de derivadas parciais

No caso, F x é obtida derivando x 2 y + y 2 = c 1 parcialmente com relação a x

Como c 1 é uma constante, sua derivada é 0 e isso não vai modificar nosso resultado, logo

F x = ∂ x 2 y + y 2 ∂ x

Como estamos derivando com relação a x , a variável y é considerada como uma constante, ou seja, como a derivada de uma constante é 0 e a derivada de x 2 é obtida pelo método de derivação polinomial, temos

F x = 2 x 2 - 1 y + 0

F x = 2 x y

Agora vamos obter F y , dessa vez derivando parcialmente com relação a y

F y = ∂ x 2 y + y 2 ∂ y

Agora, nas derivadas de x 2 y e y 2 vamos aplicar o método de derivação polinomial

F y = x 2 y 1 - 1 + 2 y 2 - 1

F y = x 2 + 2 y

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Com esses resultados, obtemos a derivada de y com relação a x , ou seja

d y d x = - F x F y

d y d x = - 2 x y x 2 + 2 y

Substituindo esse resultado na EDO, vamos verificar se a igualdade é satisfeita

d y d x = - 2 x y x 2 + 2 y

- 2 x y x 2 + 2 y = - 2 x y x 2 + 2 y

Incrível, não é? Obtemos o mesmo resultado derivando implicitamente a solução dada.

Portanto, x 2 y + y 2 = c 1 é solução da EDO!

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

x 2 y + y 2 = c 1 é solução da EDO

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