Problema 4 - Verifique que uma família a um parâmetro de soluções para

y = x y ' + y ' 2

é y = c x + c 2 . Determine um valor de k para que y = k x 2 seja uma solução singular para a equação diferencial.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Temos uma EDO dada por y = x y ' + y ' 2 e y = c x + c 2 é um conjunto de soluções para essa EDO onde c é uma constante qualquer.

Mas também y = k x 2 é uma solução singular da EDO e temos que obter um valor para k que faça essa informação ser verdadeira.

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Para verificar a solução y = c x + c 2 e para obter k em y = k x 2 podemos aplicar y e suas derivadas na EDO e mostrar que a igualdade é satisfeita.

Entendeu? Bora ver na prática! 😉

Passo 2

A EDO é dada como y = x y ' + y ' 2 e podemos ver que temos y e y ' da sua solução. Ou seja, vamos derivar y para obter y ' e substituir na EDO.

Primeiro para a solução geral y = c x + c 2

y ' = d c x + c 2 d x

Derivando pelo método de derivação polinomial, temos

y ' = c x 1 - 1 + 0 c 2 = c

Substituindo y e y ' na EDO

y = x y ' + y ' 2

c x + c 2 = x c + c 2

Simplificando o resultado, temos

c x + c 2 = c x + c 2

A igualdade foi satisfeita, portanto verificamos que y = c x + c 2 é a solução da EDO!

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora vamos mostrar que y = k x 2 é uma solução singular da EDO, pra isso k não pode ser um valor qualquer e o que temos que fazer é obter um valor para ele.

Já vimos que temos que derivar y para obter y ' antes de fazer as substituições, ou seja

y ' = d k x 2 d x

Pelo método de derivação polinomial, temos

y ' = 2 · k x 2 - 1 = 2 k x

Substituindo na EDO

k x 2 = x 2 k x + 2 k x 2

k x 2 = 2 k x 2 + 4 k 2 x 2

Podemos colocar k x 2 em evidência no lado direito para simplificar a equação

k x 2 = 2 + 4 k k x 2

Cortando k x 2 dos dois lados, temos

1 = 2 + 4 k

4 k = - 1

Assim, vemos que

k = - 1 4

E a solução singular y é dada como

y = - 1 4 x 2

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

k = - 1 4

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