Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e c 2 são constantes).

(a) 2 y ' + y = 0 ;   y = e - x 2 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão, foi dada uma EDO de primeira ordem e um possível valor para y .

Com essas informações, temos que verificar se a suporta solução y é realmente a solução da EDO.

Tem ideia de como podemos fazer isso?? 🤔🤔

A primeira coisa que podemos fazer é substituir os valores de y e y ' na EDO.

Por exemplo, se foi dado que y = e - x 2 então substituímos y da EDO por e - x 2 , assim como y ' , porém nesse caso vamos derivar e - x 2 , já que y ' é a derivada de y .

Caso fizermos essas substituições e a equação não for satisfeita é porque y = e - x 2 não é solução da EDO!

Bora ver como é na prática? 😁😁

Passo 2

Primeiro vamos derivar y = e - x 2 com relação a x para substituir em y ' .

y ' = d e - x 2 d x

Pela regra da cadeia, quando temos uma função composta como essa, calculamos a derivada de dentro e multiplicamos pela derivada de fora.

y ' = d - x 2 d x · d e u d u

Pelo método de derivação polinomial, temos

d - x 2 d x = - x 1 - 1 2 = - 1 2

E como a derivada de e x é igual a e x

d e u d u = e u

Substituindo u por - x 2 de volta, temos

y ' = - 1 2 e - x 2

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora substituímos y e y ' na EDO

Sendo que acabamos de encontrar que y ' = - 1 2 e - x 2   e y = e - x 2 .

Como nossa EDO é 2 y ' + y = 0

2 - 1 2 e - x 2 + e - x 2 = 0

Simplificando essa equação

- e - x 2 + e - x 2 = 0

O que estamos fazendo é subtrair e somar uma mesma coisa, logo o resultado é 0 .

Portanto y = e - x 2 é SIM solução da nossa EDO!

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

É solução.

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